Mathématiques - Nature, Somme et Développement de séries :

Nature, Somme et Développement de séries :
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: Bissaki

C’est vraiment urgent (pour demain !), alors merci bien de m’aider :
Je m'excuse de ne pas savoir écrire le symbole de la racine, de la valeur absolue et de la puissance de 3 :

1/ Déterminer la nature de la série numérique suivante :
∑(n≥1) 1/n (1- racine de (1-1/n))

Le (1-1/n) est sous le signe de la racine. C’est une série à termes positifs, et on demande si elle est convergente ou divergente. Alors quelle critère utilisé (Riemann, d’Alembert, la comparaison ?) et comment ?

2/ Déterminer la somme de la série suivante :
∑(n≥1) (n² - 1) xⁿ

Le x est à la puissance n. Ici je n’ai pas une idée claire sur comment on peut le faire !

3/ Donnez le développement en séries de Taylor des fonctions suivantes :
Sin(puissance 3) (x)
(1 – x²) (le tout sous le signe de la racine) , sachant que la valeur absolue de x est ≤ 1

Ici vraiment aucune idée !!

Posted by: tize

Pour la première je te conseille un equivalent plus riemann
Pour la deuxième, tu peux separer en deux séries, je pense...
La 3 c'est du cours, il me semble...

Posted by: Bissaki

Tu peus dévelloper encore plus la réponse ? merci.

Posted by: nyafai

Salut

1) tu peux faire un développement limité de racine(1-1/n) (cf ton cours pour comment le faire) qui te donnera un équivalent du terme général de ta série ( qui est à terme positif) d'où tu pourras conclure

2) regarde dans ton cours ce qui concerne les séries géométriques, c'en est une application quasi immédiate.

3) comme l'a dit tize, on te demande une application immédiate du développement en série de Taylor-> cours sur les séries de Taylor

si tu trouves pas dans ton cours, tu peux toujours trouver sur internet

bon courage

Posted by: Bissaki

Le problème c'est que je n'ai plus de cours sur ces sujets (nature des séries, séries géométriques, séries de Taylor) !! Et en ce moment meme je prépare une autre chose et donc je n'ai pas le temps pour chercher des cours sur le net (qui m'est pas facilement accessible en ce moment ), comprendre et appliquer enfin ... !! c'est pour cela que je suis venu ici, merci quand meme, mais si quelqu'un me donne un bon coup de main (je veus dire les réponses), j'en serais très reconaissant ... ...

Posted by: Bissaki

Up !! Ou sont les matheux ??

Posted by: tize

Pour la première :
$\sqrt{1-\frac{1}{n}}\;\sim\limits_{0}\;(1-\frac{1}{2n})$
Donc :
$\frac{1}{n}$1-\sqrt{1-\frac{1}{n}}$\;\sim\;\frac{1}{2n^2}$
La série est à donc un terme general equivalent à celui d'une série de même signe constant et convergente...

Posted by: Bissaki

Merci j'ai trouvé les réponses à la 1ère et 3ème question, mais il me reste celle-là :

Déterminer la somme de la série suivante :
∑(n≥1) (n² - 1) xⁿ

Il y a apparemment application de somme d'une série géométrique, voici sa définition ici mais je ne trouve pas comment appliquer ...

Posted by: tize

Pour $|x|<1$
Poses ensuite $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$
Remarque : $(n^2-1)x^n=x(n+1)nx^{n-1} - (n+1)x^n$
utilise la ressemblence avec $f'(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ et
$f''(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}$

Posted by: nyafai

sauf mauvais souvenir de ma part, le problème de cette méthode c'est que pour montrer que l'on a le droit de dériver terme à terme une somme infinie, il faut des connaissances sur les séries entières ou sur la convergence uniforme ou dominée (notions de spé) ce que Bissaki n'a peut-être pas vu qu'il étudie à priori les développements limités vus en sup.

Mais je me trompe peut-être. je ne me rappelle plus exactement de comment on faisait ça en sup
Ceci dit c'est probablement la manière la plus simple d'y arriver sans se poser de questions

Posted by: Bissaki

tize :
Attends un peu je ne comprend pas !!

- La condition que tu poses (valeur absolue de x < 1) n'existe pas dans la question, y t-il pas une solution pour quelque soit x ?
- Comment tu as fait pour trouver f' et f'' ?
- Sinon je ne vois pas la ressemblance avec f''

Tu peus m'éclairer ...

Posted by: tize

Citation:

Posté par Bissaki

- La condition que tu poses (valeur absolue de x < 1) n'existe pas dans la question, y t-il pas une solution pour quelque soit x ?

Pourtant tu l'a toi même ecrit dans ton premier post...

Posted by: Bissaki

La valeur absolue de x s'était juste pour la 2ème formule de la 3ème question !!
Aï aï aï ! je commence à perdre espoir !!
Sauvez-moi !!!!!!!!

Sinon c'est quoi la solution si valeur absolue de x < 1 ?
Peut-etre que le prof l'acceptera (bien que fort improbable !!)

Posted by: tize

D'accord,
alors si $|x|\geq 1$ , de toute façon la série diverge...(par exemple si $x\geq 1$ elle tend vers $+\infty$ )
Donc soit |x|<1 et c'est ecrit dans ton énoncé, soit ton prof l'a oublié...

Ensuite si |x|<1 : je t'ai déjà indiqué la méthode dans le post #9...mais tu est censé avoir connaissance des séries de fonctions et de leur dérivée...
Sinon, je ne vois pas comment faire...

Posted by: Bissaki

tize : "mais tu est censé avoir connaissance des séries de fonctions et de leur dérivée..."

Il n'y a rien des dérivées des séries de fonction dans les cours que j'ai,
ça doit etre "la question impossible" dans le sujet, pour éviter le 20/20 ...
En tout cas, tu peus m'expliquer un peu ta réponse ???!!!

Posted by: tize

D'accord, pour $|x|<1$ $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$ (somme des termes d'une suite geometrique)
il se trouve que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$ converge aussi pour |x|<1.
Donc $f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ (on a dérivé $\frac{1}{1-x}$ ).
En dérivant une seconde fois, on a : $f''(x)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}$ (converge aussi pour $|x|<1$ ).
Maintenant :
$(n^2-1)x^n=x(n+1)nx^{n-1} - (n+1)x^n$ et
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n^2-1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x(n+1)nx^{n-1} -\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+1)x^n$
La première somme :
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}x(n+1)nx^{n-1}=x\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+1)nx^{n-1}=x\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2x}{(1-x)^3}$
Puis même chose avec la deuxième somme et $f'$ .
Mais si tu n'as pas vu ces propriétés ,tu ne peux pas les utiliser...
Sinon je ne sais pas comment on fait, si quelqun a une idée ...

Posted by: Bissaki

Oui, en attendant je revient à la question une et la nature de la série :
∑(n≥1) 1/n (1- racine de (1-1/n)).
Ma solution (que j'ai faite moi-meme) étais fausse en effet. Et en vérité je n'ai pas compris ta réponse (post 7) : c'est quoi les deux symboles entre les deux formules ?? Et comment ?? enfin je ne sais pas.
On a l'habitude trouver la nature d'une série en appliquant certains critères, les-voilà :

On a la série ∑Un :

Critère de Cauchy :
Lim (n—>+infini) racine n de Un = a
0<= a < 1 : donc ∑Un convergente
a >1 : donc ∑Un divergente

Critère de d’Alembert :
Lim (n—>+infini) U indice n+1/Un = a
0<= a < 1 : donc ∑Un convergente
a >1 : donc ∑Un divergente
a = 1 : cas de doute

Critère de Riemann :
S’il y a un nombre a de R
Si a > 1 :
Lim (n—>+infini) n (puissance) a . Un = b donc ∑Un convergente
Si a <= 1 :
Lim (n—>+infini) n (puissance) a . Un = c donc ∑Un divergente

La Comparaison :
Lim (n—>+infini) Un/Vn = 0
Si ∑Un divergente donc ∑Vn divergente
Si ∑Vn convergente donc ∑Un convergente

Si Lim (n—>+infini) Un/Vn = a de R (a n’égale pas à 0)
Alors ∑Un et ∑Vn sont de même nature.

Autre :
- On trouve une série simple ∑Vn convergente :
∑Un <= ∑Vn : alors ∑Un sera convergente.
- On trouve une série simple ∑Vn divergente :
∑Un >= ∑Vn : alors ∑Un sera divergente.

Voilà … …

Posted by: tize

Tu connais les équivalents ?
Tu es en quel niveau ?

Posted by: Bissaki

Les équivalents ?? dans les séries ?? connais pas !!
Je sui en 2ème année informatiques
En fait, je ne suis pas Français ...

Alors, y a t-il pas une solution ?
C'est la toute dernière question qui me reste, et j'aurais la note qui me sauvera (etje suis sérieux !!)

Mais il me reste pas beaucoup de temps ... en plus du retard que j'ai fait !!

Posted by: Bissaki

Voici la solution pour la série (on me la montré, pas tordue !!!) :
∑(n≥1) 1/n (1 – racine (1 – 1/n))

Quelque soit 0 ≤ a ≤ 1 : a ≤ racine a :
0 ≤ 1 – 1/n ≤ 1 donc
1 – 1/n ≤ racine (1 – 1/n)
On multiplie par -1, on ajoute 1 puis on multiplie par 1/n, on trouve :
1/n (1 - racine (1 – 1/n)) ≤ 1/n²

∑(n≥1) 1/n² est convergente donc ∑(n≥1) 1/n (1 – racine (1 – 1/n)) est convergente aussi.

Chokrann (merci en arabe).

Posted by: tize

Afwan
J'essaye toujours de trouver une méthode sans dériver pour le deuxième, mais pour l'instant je n'ai rien, il doit y avoir une astuce surement... je te dis si j'ai du nouveau...

Posted by: nyafai

ça doit marcher en écrivant la suite des sommes partielles
$<br /> S_N(x)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x^n = \frac{1-x^N}{1-x}$ (somme des termes d'une suite geometrique) et en la dérivant (on peut somme finie)

on a $S_N'(x)=\sum\limits_{n=1}^{N-1}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2} - U_N(x)$

où Un(x) est un terme qui doit tendre vers 0 quand N tend vers l'infini (il se calcule explicitement en dérivant x^N/(1-x)

Et en dérivant une seconde fois on doit trouver :
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}$ en faisant tendre N vers l'infini

Posted by: Bissaki

Merci nyafai et tize, j'ai remis ma copie au prof et j'ai finalement utilisé ta solution (les dérivées). Meme si on l'a pas déja fait en cours, il ne doit pas avoir une raison "mathématiquement acceptable" pour la refuser vu que la méthode est correcte, de ce fait, j'attends mon 20/20 ;-)