Mathématiques - Nains de jardin

Nains de jardin
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Posted by: Zweig

Sept nain sont assis autour d'une table ronde. Chacun a un verre devant lui. Il y'a du lait dans certains verres et il y'a au total 3L de lait. L'un des nains partage son lait uniformément entre les six autres sans en garder pour lui. En parcourant la table dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, chaque autre nain fait de même. Après que le septième a partagé son lait, le contenu des verres est le même qu'au départ.

Trouver de quelle quantité de lait chaque nain disposait au départ.

Posted by: ThSQ

( Vu dans la section énigme il y a peu )

Posted by: lapras

Je n'ai jamais fait cette énigme.
Mais je pense que ca doit se résoudre à coup de suites, puis on a un systeme à résoudre à la fin.
C'est ca ?
Ou il y a plus rapide ?

Posted by: Zweig

(Où ça ? Je n'ai pas trouvé le topic)

Posted by: Zweig

Bah euh, y'a beaucoup beaucoup plus rapide en fait

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Zweig

(Où ça ? Je n'ai pas trouvé le topic)

ici peut-être:

http://forums.futura-sciences.com/thread207363.html

xD

Posted by: Zweig

Oui je l'ai postée là-bas aussi, mais j'ai cru qu'il parlait de la section de ce forum.

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Zweig

Oui je l'ai postée là-bas aussi, mais j'ai cru qu'il parlait de la section de ce forum.

xD au temps pour moi alors =)

pour ma part je l'ai lue récemment dans un livre mais j'ai oublié la réponse xD

çà se résouds comment çà ?? oO moi j'aurais dis comme lapras mais je ne vois pas comment faire plus rapide ^^

un indice ?? :p

Posted by: Zweig

Le problème c'est que ce problème est très court et que je ne suis pas fort pour donner des indices ... Juste utilise le "principe du maximum" ... Je ne sais pas si ça peut t'aider ...

Posted by: _-Gaara-_

Méthode du Plan tournant :D

Posted by: Zweig

Euh ??

Posted by: _-Gaara-_

Je n'ai rien compris donc si çà peut t'intéresser :

http://www.fimfa.ens.fr/exposes/2006/thouroude.pdf

lol ^^

Posted by: Alpha

Bonsoir,

moi je n'ai pas regardé les divers liens proposés dans cette discussion, mais j'ai commencé à réfléchir au problème hier soir avant de me coucher pour en trouver la résolution ce matin en plein travail sur autre chose (lol).

Cela repose effectivement sur l'invariance par rotation du problème : le 2ème nain se retrouve exactement dans la même position que le 1er nain après que celui-ci ait réparti le contenu de son verre dans celui des 6 autres. En effet, puisqu'au bout d'un tour, lorsque le 7ème nain répartit également le contenu de son verre dans celui des autres, on revient à la situation initiale, alors si l'on continue, le second nain se retrouvera, une fois que le 1er nain aura réparti également le contenu de son verre dans celui des autres, dans la même situation qu'au tour d'avant. Cette situation étant exactement celle du 1er nain juste avant que celui-ci ne vide son verre.

Par ce raisonnement, il est donc établi que tout nain numéro n vérifie ce que le 1er nain vérifie, à savoir que "Le nain numéro n partage son lait uniformément entre les six autres sans en garder pour lui. En parcourant la table dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, chaque autre nain fait de même. Après que le nain numéro n+6 [7] a partagé son lait, le contenu des verres est le même qu'au départ."

La situation tourne donc à chaque fois qu'un verre se vide : le verre qui le suit se trouve alors dans la situation dans laquelle celui qui le précèdait se trouvait juste avant lui, c'est-à-dire que les quantités dans chaque verre ont subit une rotation d'un verre. On le voit par exemple avec le verre vide, puisqu'il y en a toujours un, qui tourne à chaque fois.

Par conséquent, si l'on note le contenu initiale du verre numéro 1 $x_1$ , celui du verre numéro 2, $x_2$ , etc..., le contenu du verre numéro 2 après que le 1er nain a réparti le contenu de son verre doit être celui du verre numéro 1 avant qu'il ne répartisse le contenu de son verre (c'est-à-dire la quantité initiale x_1 de ce verre), or cette quantité vaut aussi $x_2 + x_{1}/6$ , donc :

$x_1 = x_2 + x_{1}/6$

d'où

$x_2 = (5/6) x_1$

De même,
$ x_3 = (5/6) x_2 = (5/6)^{2} x_1$ , etc...

Du coup, on exprime la quantité initiale de chaque verre en fonction de celle de $x_1$ , puis comme on connaît la somme (3), on en déduit $x_1$ (somme des termes d'une suite géométrique) puis les autres quantités.

Vous êtes d'accord?

Posted by: Zweig

Je suis d'accord

Posted by: Alpha

Merci pour ce problème, je l'ai trouvé vraiment joli :)

Posted by: Zweig

Une manière on ne peut plus sobre :

Dans l'ensemble des nains, chacun considéré au moment où il doit partager son lait, il y en a un qui dispose d'un maximum de lait. Appelons-le Max. Les six autres nains à sa droite disposent respectivement de $x_1, x_2, ..., x_6$ quantités de lait à partager. Max récupère de chacun $x_i/6$ unités de lait. On a donc :

$x = \frac{x_1 + ... + x_6}{6}$ (1)

si on note $x_i$ le lait que le $i$ -ème nain possède au moment où il doit partager. Or, $x_i \leq x$ , pour tout i. Si cette inégalité était stricte, ne serait-ce qu'une fois, on ne pourrait pas avoir égalité au (1). Donc $x_1 = x_2 = ... = x$ . Par conséquent, tous les nains partagent la même quantité de lait quand c'est leur tout de partager. On en déduit alors facilement que la distribution initiale de lait était 0, x/7, 2x/7, 3x/7, 4x/7, 5x/7, 6x/7. Comme la somme totale vaut 3, alors $x = 1$ .

Posted by: Alpha

Citation:

Posté par Zweig

Par conséquent, tous les nains partagent la même quantité de lait quand c'est leur tout de partager. On en déduit alors facilement que la distribution initiale de lait était 0, x/7, 2x/7, 3x/7, 4x/7, 5x/7, 6x/7. Comme la somme totale vaut 3, alors $x = 1$ .

Je suis tout à fait d'accord avec le raisonnement, mais par contre, je ne suis pas aussi d'accord avec le "on en déduit facilement" et surtout avec les quantités que tu annonces, quand je les compare à celles que je trouve. Car si 5x/7 est bien égal ) 5/6 * 6x/5, en revanche, 4x/7 n'est pas égal à (5/6) * 5x/7... Ma solution serait donc fausse?

Posted by: Alpha

En fait je crois que j'ai compris mon erreur, c'est que le $x_3$ auquel je fais référence quand j'écris $x_3 = (5/6) x_2$ , ce n'est plus la quantité initiale dans le verre 3, mais cette dernière augmentée de $x_1 /6$ .

On a donc $x_3 + x_1 /6 = (5/6) x_2$ ,

donc $x_3 = (5/6)^{2} x_1 - x_1 /6 = (19/36) x_1$ ...

Bon, c'est encore différent de ton résultat...

Posted by: Alpha

En fait je me suis un peu emmêlé les pinceaux... Voici donc la nouvelle version de ma solution :

Comme tout verre n°i vérifie aussi bien l'énoncé que le verre n°1 juste avant de devoir se vider dans les autres verres (puisque, faisant un tour, on retombe sur la situation initiale), à chaque fois qu'un verre va se vider, il contient la même quantité que le verre n°1 en contenait avant qu'il ne se vide.

Ca c'est la partie raisonnement, qui me fait aboutir à la même conclusion que ton raisonnement. Ensuite vient ce qui correspond à ton "on en déduit facilement" :

En notant $x_i$ la quantité initiale dans le verre n°i, on a donc :

x $_1 = x_2 + x_1/6$ (la quantité contenue dans le verre n°2 après que le 1 se soit vidé est égale à x_1 mais aussi au contenu initial $x_2$ du verre n°2 augmenté de $x_1/6$

d'où
$ x_2 = (5/6) x_1 $
De même,

$x_1 = x_3 + 2(x_1/6)$

donc

$x_3 = 2 x_1 / 3$

Il est clair que $x_i = (6-i+1/6)$ , donc

$ x_2 = (5/6) x_1 $
$x_3 = 2 x_1 / 3$
$x_4 = x_1 / 2$
$x_5 = x_1 / 3$
$x_6 = x_1 / 6$
$x_7 = 0$

et $x_1 (\frac{1+2+3+4+5+6}{6})=3$

donc

$x_1 = 6/7 L$

$ x_2 = 5/7 L$

$x_3 = 4/7 L$

$x_4 = 3/7 L$

$x_5 = 2/7 L$

$x_6 = 1/7 L$

$x_7 = 0 L$

Et je retombe sur ta solution, Zweig.