Je ne me souviens plus comment démontrer que
ln(n)/n tends vers 0 en +inf.
Ou plus généralement ln(n)^a / n^b (avec a et b > 0).
En fait, il suffit de montrer que ln(n) = O(n^c) pour c > 0.
Y-a-t-il une inégalité classique qui montre ça ?
Merci d'avance
Posted by: Michel
Zorglub :
> Hello,
>
> Je ne me souviens plus comment démontrer que
> ln(n)/n tends vers 0 en +inf.
Par exemple montrer par une étude de fonction la majoration grossière
0 < ln n < n + 1 au voisinage de +oo.
La limite est donnée par le théorème des gendarmes.
> Ou plus généralement ln(n)^a / n^b (avec a et b > 0).
.... s'en déduit.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Posted by: FDH
> Je ne me souviens plus comment démontrer que
> ln(n)/n tends vers 0 en +inf.
> Ou plus généralement ln(n)^a / n^b (avec a et b > 0).
> En fait, il suffit de montrer que ln(n) = O(n^c) pour c > 0.
> Y-a-t-il une inégalité classique qui montre ça ?
1) Montrer que pout tout x>0, ln(x)<x-1 en étudiant la fonction x ->
ln(x)-x+1
2) Donc ln(x)/x^2 tend vers 0 en +inf (th. des gendarmes)
3) Soit c>0 : ln(y)/y^c=ln(y^(c/2))/(y^(c/2))^2*(2/c), donc en posant
x=y^(c/2) dans la limite précédente, on obtient ln(y)/y^c tend vers 0 en
+inf
4) Si a,b>0, ln(x)^a/x^b = [ln(x)/x^(b/a)]^a , qui tend vers 0 en +inf
Posted by: Marc Pichereau
On Sun, 8 Feb 2004 18:27:11 +0100, "Zorglub"
<spam-mi-et-spam-moi@bateau.com> wrote:
>Hello,
>
>Je ne me souviens plus comment démontrer que
>ln(n)/n tends vers 0 en +inf.
une solution que l'on trouve dans tous les bouquins de TS
u(x)=lnx-2*rac(x) a pour max -2
donc u(x)<0
lnx<2rac(x)
donc pour x>1 on en déduit un encadrement de lnx/x
qui permet de conclure grâce au theorème du squeeze :-)
>
>
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Pichereau Alain
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