MPSI probleme sur les applications

[alex693]

bonjour ,
J'ai un exercice que je n'arrive pas à démarrer et je sollicite votre aide

montrer que
pour tout Y appartenant aux entiers positifs non nul il existe un unique couple (n,p) appartenant à N* tel que Y=2^n*(2p+1)
puis en déduire l'existence d'une bijection de N^2 sur N

[Ericovitchi]

Distingues les cas où Y est pair et impair
Si Y est impair il est de la forme 2k+1 et donc il existe n et p car il suffit de prendre p=k et n=0

Si Y est pair alors il s'écrit 2k et donc
et on peut recommencer (si k est impair on a trouvé, si k est pair il s'écrit 2k', etc... ) et par ce processus on peut montrer que l'on trouve toujours une solution au bout d'un nombre fini d'opérations

[alex693]

merci beaucoup pour ta réponse je pense avoir compris la technique pour résoudre l'exercice

[euler21]

Une autre méthode très efficace est d'utiliser l'existence et l'unicité de la décomposition de chaque entier en facteurs premiers. Je pense qu'elle donne le résultat de façon très élégante.

[alex693]

comment je peux savoir que (2p+1) est premier
la seule chose que je sais c'est que c'est le résultat du quotient de y avec 2^n
mais je pense que ce n'est pas un argument