Mathématiques - [MPSI] mécanique

[MPSI] mécanique
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Posted by: bitonio

Bonjour à tous,
je rencontre un petit problème sur un exercice:

on considère une sphère de rayon $r$ et de centre $O$

On lance un objet M avec une vitesse $\vec { v_0 }$ tangente à la sphère. M est à l'origine en "haut" de la sphère...

Mon but est de trouver le moment ou l'objet M va décoler de la sphère..

Rédaction:
systeme point M
référentiel R terrestre supposé galiléen.
base locale de projection: $\vec OM = r \vec U_R$ et $\vec U_{\theta}$ perpendiculaire sens direct
$\theta$ est l'angle entre la verticale ascendante et $\vec OM$
Bilan des forces
* $\vec P = m \vec g$
* $\vec R = || \vec R_N || \vec U_R$ car pas de frottement donc $\vec R_T = \vec 0$

A noter que $\theta .$ est la dérivée de $\theta$ (et $\theta ..$ la dérivéé seconde)

$\vec OM = r \vec U_R$
$\frac {d \vec OM } { dt } = r \theta . \vec U_\theta$
$\frac { d^2 \vec OM } { dt } = r \theta .. \vec U_{\theta} - r \theta . \vec U_R$

On a d'après le PFD ...

$m \vec a = \vec P + \vec R$
Lorsqu'on projette sur $\vec U_R$ et $\vec U_{\theta}$ , on trouve:

Sur $\vec U_{R}:$ : $-r m \theta . = R_N -mgsin( \theta)$
Sur $\vec U_{\theta}$ $m \theta .. r = -cos(\theta)mg$

Je suis à peu près certain de ces équations, donc vous n'avez pas besoin de vérifier le début à priori...

Maintenant je ne sais plus trop par ou partir. Pour que l'objet reste sur la sphère, il est évident qu'il faille que $R_N \g 0$

Merci d'avance pour une idée :)

Posted by: kentin59

recherche quand la reaction devient nul
(si jme souvien bien)

t'aura une equa diff jcroi

Posted by: bitonio

En effet, mais je sais pas trop pas ou partir pour la trouver... je demanderai à ma prof la prochaine fois que je la vois

Si tu as des idées entre temps je suis prenneur !

CIao

Posted by: abel

je constate une erreur quand tu dérive OM car tu oublies le terme en r. Ur ce qui veut dire que déjà tu supposes r=cste. Sauf si tu pars du principe que la masse adhère a la sphere et que donc r=cst ce qui veut dire que la masse décolle quand theta= Pi/2 .
Dans ce cas j'essaierais de passer par un raisonnement energétique car Rn ne travaille pas et c'est force qui empeche d'intégrer les equation. apres il resterais a exprimer la hauteur z en fonction de r et theta (en prenant pr référence des hauteur le centre de la sphère) ce qui donne immédiatement une equa diff en theta. Je ne garantie pas que l'equation obtenue sera facile à intégrer. Ensuite tu trouves theta(t) et tu résous : theta(t) = Pi/2 et tu trouves t 'si c'est possible)

Posted by: bitonio

L'objet ne décole pas à $\frac {\pi} {2}$ mais avant attention .... Merci pour l'aide je vais essayer de voir

sinon il n'y a pas de r. car r est constant = rayon de la sphère (on se soucit que de l'objet sur la sphère, et quand il part de celle ci on ne l'étudie plus!)

Posted by: abel

C'est vrai que c pas idiot comme ça, la difficulté est de trouver le moment où Rn=0.
Sinon tu px supposer que theta reste petit car la vistesse initiale fait que l'objet va vite décoller donc cos(theta)=1 à l'ordre 1. donc ds la deuxieme equation on trouve theta(t) puis on en déduit ||Rn||(t) on on regarde l'instant qud ca s'annule en vérifiant bien que cet instant donne un theta petit (pr ne pas con tredire l'approximation...).
Bref, je sais pas si ma methode est pertinente donc si tu as une solution de ton prof ca m'interesse(enfin juste la démarche pas les calculs).Merci

Posted by: flaja

calcul de l'accélération tangentielle : $mg\sin\theta = m r \ddot\theta$
que l'on intègre une fois en multipliant par $\dot\theta$
ou directement l'équation intégrale : $mgz + 1/2mv^2 = mgr + 1/2mv_0^2$
soit $\cos\theta+\frac{r}{2g}\dot\theta^2 = 1+\frac{v_0^2}{2gr}$ équation (1)

calcul de l'accélération normale : $mg\cos\theta + R = mr\dot\theta^2$
R = 0 pour $mg\cos\theta = mr\dot\theta^2$

en remplaçant $\dot\theta$ dans l'équation (1) on a $\cos\theta$ de décollement

Posted by: abel

Salut, merci de ta réponse car ça me taraudait l'esprit ce pb (la résolution de l'equa-diff surtout).
Il y a un truc que je capte pas d'un pt de vue raisonnement : pourquoi on élimine R car cette force intervient bien avant le décollement donc l'equation ne sera valable qu'à partir d'un certain instant mais comment connaître cet insatant ?