[MPSI] Dimension ...
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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pouik
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par pouik » 15 Mar 2007, 21:55
Bonsoir,
J'arrive à résoudre les deux premières questions de cet exercice mais après je n'y arrive pas du tout ! Pourriez-vous m'aider. Merci d'avance.
Soit
un
-espace vectoriel non réduit
de dimension finie. On suppose qu'il existe un endomorphisme
de
tel que
, et on souhaite montrer que, forcément, la dimension de
est paire.
1. Soit
. Montrer que la famille
est libre. Où l'hypothèse
a t-elle servi ?
= Question traitée.2. On suppose dans cette question que
. Soit
. Montrer que la famille
est libre.
= Question traitée.3. Montrer le résultat souhaité.
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 22:00
bonsoir
si f(x) = a x
alors (a^2 +1 )x = 0 ce qui implique x = 0 car a^2 +1 = 0 dans R est impossible
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pouik
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par pouik » 15 Mar 2007, 22:16
Excusez moi mais pourriez vous etre un peu plus explicite : je ne comprends pas très en quoi cela montre que la dimension de E est paire.
Merci d'avance.
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 22:19
ça répond à ta première question
où R sert il ?
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 22:26
plusieurs façons de rédiger la réponse finale
une
par l absurde
on suppose dim E = 2p+1
alors
de proche en proche on construit
(x1,f(x1), x2,f(x2),...,xp f(xp) ) libre et comme le se v engendré par cette famille est de dim 2p il existe y qui n 'est pas ds ce sev
et alors (x1,....f(xp),y, f (y) ) est libre de cardinal 2p+2 absurde
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pouik
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par pouik » 15 Mar 2007, 22:27
okay merci,
mais en fait il y a juste la question 3. que je n'arrive pas à faire.
Des idées ?
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 22:30
il y a une plus jolie preuve d 'ailleurs
on peut munir E d 'une structure de C ev en posant
ix = f(x) alors
E est forcément un C ev de dim finie n et alors E est un R ev de dim 2n
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pouik
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par pouik » 15 Mar 2007, 22:49
et que deduit-on de ceci :
fahr451 a écrit:
et alors (x1,....f(xp),y, f (y) ) est libre de cardinal 2p+2 absurde
j'ai un peu de mal ... :hum: :hum:
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 22:52
même preuve que la question 2 pourtant
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 22:57
(x1,...,...f(xp),y) est libre par hypothèse
on suppose (x1,...,y,f(y)) liée alors on a forcément
f(y )= sigma ai xi + sigma bi f(xi) + c y
puis en prenant l 'image par f
- y = sigma ai f(xi) - sigma bi xi + cf(y)
et en remplaçant f(y) par la première relation et en utilisant que c^2 + 1 non nul
on trouve y cbl des xi et des f(xi) absurde
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pouik
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par pouik » 15 Mar 2007, 23:02
Mais ce que je ne comprends pas bien en fait, c'est comment de ca déduit-on que E est de dimension paire !?
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 23:04
il a été supposé de dim IMPAIR 2p+1 et on vient de trouver une famille libre de cardinal 2p+2 > 2p+1 c 'est absurde
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pouik
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par pouik » 15 Mar 2007, 23:15
donc c'est pair si j'ai bien compris ?
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fahr451
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par fahr451 » 15 Mar 2007, 23:16
ah oui, un entier qui n est pas impair est nécessairement pair
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