Soit une fonction définie et dérivable sur IR+ \ {0} tel que lim f'(x)=0 (quand x tend vers + l'infini)
Monter que lim f(x)/x = 0 (quand x tend toujours vers l'infini), et que f est lipschitizienne sur un intervalle du type [a,+l'infini[ où a € IR.
La 2ème partie est presque immédiate, car f' converge, et est donc bornée d'où f est lipsschitizienne. Mais pour l'autre partie je ne trouve pas =x. J'ai essayé d'appliquer la définition rigoureuse de la limite, mais sans résultat.
Un coup de main ne ferait pas de mal, merci
Posted by: klevia
salut, une idée pas sure du tout:
lim f'(x)=0 en +inf <=>
d'ou en utilisant l'egalité des accroisement fini sur [N,x] on obtient:
il existe c appartenant [N,x] tel que
f(x)=f(N) + (x-N)f'(c)
d'où
en passant à la limite
on obtient le résultat souhaité.
j'en suis pas sur du tout ...
donne moi ton avis
Posted by: Hyp
Oui c'est exactement ça :p
J'étais sûr qu'il fallait passer par les acroissements finis, mais je n'ai pas eu le reflexe de remarquer le fermé borné [N,x].
Merci beaucoup pour l'aide, même si je ne cherchais pas la solution directe
