on note H l'ensemble des complexes qui admettent un polynôme minimal sur
Q (Q est l'ensemble des rationnels).
J'ai déjà montré que H est un sous-corps de C (C est l'ensemble des
complexes) et un Q-espace vectoriel.
Je sais aussi que pour tout p premier, le polynôme X^p - 2 est
irréductible dans Q (démontré dans le DM).
J'en arrive à la question que je ne sais pas faire :
Grâce au fait que X^p -2 est irréductible dans Q, conclure sur le fait
que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
J'ai songé à montrer par récurrence que la famille des racines p-ièmes
de 2 (p premier ) était libre dans Q, ce qui m'amènerait bien à la
conclusion souhaitée (car c'est une famille infinie) et pour cela je
pensais utiliser le fait que X^p -2 étant irréductible et annulateur de
la racine p-ième de 2, il était le polynôme minimal de la racine p-ième
de 2, mais j'avoue avoir des difficultés dans cette démo.
J'aimerais avoir quelques unes de vos idées à ce sujet.
En vous remerciant d'avance :)
Posted by: Maxi
> J'en arrive à la question que je ne sais pas faire :
>
> Grâce au fait que X^p -2 est irréductible dans Q, conclure sur le fait
> que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
>
> J'ai songé à montrer par récurrence que la famille des racines p-ièmes
> de 2 (p premier ) était libre dans Q, ce qui m'amènerait bien à la
> conclusion souhaitée (car c'est une famille infinie) et pour cela je
> pensais utiliser le fait que X^p -2 étant irréductible et annulateur de
> la racine p-ième de 2, il était le polynôme minimal de la racine p-ième
> de 2, mais j'avoue avoir des difficultés dans cette démo.
Une combinaison linéaire de racines de 2 te fournit un polynôme annulateur
d'une certaine racine de 2.
Tu conclues car tu connais son polynôme minimal.
--
Maxi
Posted by: Julien Baglio
In <3fbd2456$0$27019$626a54ce@news.free.fr> Maxi wrote:
>> J'en arrive ? la question que je ne sais pas faire :
>>
>> Gr?ce au fait que X^p -2 est irrÈductible dans Q, conclure sur le
>> fait que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
>>
>> J'ai songÈ ? montrer par rÈcurrence que la famille des racines p-
>> iËmes de 2 (p premier ) Ètait libre dans Q, ce qui m'amËnerait bien ?
>> la conclusion souhaitÈe (car c'est une famille infinie) et pour cela
>> je pensais utiliser le fait que X^p -2 Ètant irrÈductible et
>> annulateur de la racine p-iËme de 2, il Ètait le polynÙme minimal de
>> la racine p-iËme de 2, mais j'avoue avoir des difficultÈs dans cette
>> dÈmo.
>
>
> Une combinaison linÈaire de racines de 2 te fournit un polynÙme
> annulateur d'une certaine racine de 2. Tu conclues car tu connais son
> polynÙme minimal.
>
Excuse-moi, mais je ne saisis pas trop comment je peux conclure ; en
disant que le polynôme annulateur obtenu en combinaison linéaire est de
degré inférieur au polynôme minimal donc nul ? Et comment relier la
combinaison linéaire de racines p-ième de 2 à un polynôme à coefficient
rationnels d'une certaine racine p-ième ?
Julien
Posted by: Frederic
On 20 Nov 2003 20:51:50 GMT, Julien Baglio <jbaglio@free.fr> wrote:
>In <3fbd2456$0$27019$626a54ce@news.free.fr> Maxi wrote:
>>> J'en arrive ? la question que je ne sais pas faire :
>>>
>>> Gr?ce au fait que X^p -2 est irrÈductible dans Q, conclure sur le
>>> fait que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
>>>
>>> J'ai songÈ ? montrer par rÈcurrence que la famille des racines p-
>>> iËmes de 2 (p premier ) Ètait libre dans Q, ce qui m'amËnerait bien ?
>>> la conclusion souhaitÈe (car c'est une famille infinie) et pour cela
>>> je pensais utiliser le fait que X^p -2 Ètant irrÈductible et
>>> annulateur de la racine p-iËme de 2, il Ètait le polynÙme minimal de
>>> la racine p-iËme de 2, mais j'avoue avoir des difficultÈs dans cette
>>> dÈmo.
>>
>>
>> Une combinaison linÈaire de racines de 2 te fournit un polynÙme
>> annulateur d'une certaine racine de 2. Tu conclues car tu connais son
>> polynÙme minimal.
>>
>
>Excuse-moi, mais je ne saisis pas trop comment je peux conclure ; en
>disant que le polynôme annulateur obtenu en combinaison linéaire est de
>degré inférieur au polynôme minimal donc nul ? Et comment relier la
>combinaison linéaire de racines p-ième de 2 à un polynôme à coefficient
>rationnels d'une certaine racine p-ième ?
Une autre piste : il me semble que, si da(x) est le degré du polynôme
minimal de x, alors da(q.x) <= da(x) pour q rationnel, et da(x+y)
se majore en fonction de da(x) et da(y). En particulier, le
da des éléments d'un espace vectoriel finiment engendré par
des éléments de da fini est majoré. Donc supposons l'espace
vectoriel engendré par les racines p-èmes de 2 de dimension finie,
on a alors dedans uniquement des éléments dont le da est majoré.
Comme la suite des da. des racines p-èmes de 2 tend vers l'infini,
on a une contradiction. (Note : da = degré algébrique).
--
Frédéric, ah oui, je me souviens que Baglio utilisait Internet.
Bonjour, Julien...
Posted by: Marc Pichereau
On 20 Nov 2003 19:55:50 GMT, Julien Baglio <jbaglio@free.fr> wrote:
>Je résume le début de mon DM :
>
>on note H l'ensemble des complexes qui admettent un polynôme minimal sur
>Q (Q est l'ensemble des rationnels).
>
>J'ai déjà montré que H est un sous-corps de C (C est l'ensemble des
>complexes) et un Q-espace vectoriel.
>
>Je sais aussi que pour tout p premier, le polynôme X^p - 2 est
>irréductible dans Q (démontré dans le DM).
>
>J'en arrive à la question que je ne sais pas faire :
>
>Grâce au fait que X^p -2 est irréductible dans Q, conclure sur le fait
>que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
>
>J'ai songé à montrer par récurrence que la famille des racines p-ièmes
>de 2 (p premier ) était libre dans Q, ce qui m'amènerait bien à la
>conclusion souhaitée (car c'est une famille infinie) et pour cela je
>pensais utiliser le fait que X^p -2 étant irréductible et annulateur de
>la racine p-ième de 2, il était le polynôme minimal de la racine p-ième
>de 2, mais j'avoue avoir des difficultés dans cette démo.
>
en fait il s'agit de montrer que l'ensemble H des nombres de C
algèbriques sur Q n'est pas une extension finie de Q ; c'est
d'ailleurs un exemple qui est souvent cité pour illustrer que
extension algébrique n'entraîne pas extension finie ;
je ne sais si va coller avec le texte du DM mais voici la démo que
j'ai pu lire :
si H est un ev de dim n sur Q
alors tout élément de H qui est algèbrique sur Q a un degré
(celui de son poly minimal) qui divise n ,
donc est <= n
or racine pième de 2 est algébrique de degré p
cela qq soit p entier >=1 ( p 1er n'est pas nécessaire)
d'où la contradiction.
*****************
Pichereau Alain
adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid
> on note H l'ensemble des complexes qui admettent un polynôme minimal
sur
> Q (Q est l'ensemble des rationnels).
>
> J'ai déjà montré que H est un sous-corps de C (C est l'ensemble des
> complexes) et un Q-espace vectoriel.
>
> Je sais aussi que pour tout p premier, le polynôme X^p - 2 est
> irréductible dans Q (démontré dans le DM).
>
> J'en arrive à la question que je ne sais pas faire :
>
> Grâce au fait que X^p -2 est irréductible dans Q, conclure sur le fait
> que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
Soit a une racine de M(X) = X^p - 2. Le polynôme minimal de a est M. Les
p éléments de H :1, a, a², ..., a^(p-1), sont linéairement indépendants
sur Q (car sinon a aurait un polynôme annulateur de degré < p). Donc ils
engendrent un sous-espace vectoriel de H de dimension p. H contient donc
des sev de dimension arbitrairement grande.
> On 20 Nov 2003 20:51:50 GMT, Julien Baglio <jbaglio@free.fr> wrote:
>> In <3fbd2456$0$27019$626a54ce@news.free.fr> Maxi wrote:
>>>> J'en arrive ? la question que je ne sais pas faire :
>>>>
>>>> Gr?ce au fait que X^p -2 est irrÈductible dans Q, conclure sur le
>>>> fait que H est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
>>>>
>>>> J'ai songÈ ? montrer par rÈcurrence que la famille des racines p-
>>>> iËmes de 2 (p premier ) Ètait libre dans Q, ce qui m'amËnerait bien ?
>>>> la conclusion souhaitÈe (car c'est une famille infinie) et pour cela
>>>> je pensais utiliser le fait que X^p -2 Ètant irrÈductible et
>>>> annulateur de la racine p-iËme de 2, il Ètait le polynÙme minimal de
>>>> la racine p-iËme de 2, mais j'avoue avoir des difficultÈs dans cette
>>>> dÈmo.
>>>
>>>
>>> Une combinaison linÈaire de racines de 2 te fournit un polynÙme
>>> annulateur d'une certaine racine de 2. Tu conclues car tu connais son
>>> polynÙme minimal.
>>>
>>
>> Excuse-moi, mais je ne saisis pas trop comment je peux conclure ; en
>> disant que le polynôme annulateur obtenu en combinaison linéaire est de
>> degré inférieur au polynôme minimal donc nul ? Et comment relier la
>> combinaison linéaire de racines p-ième de 2 à un polynôme à coefficient
>> rationnels d'une certaine racine p-ième ?
>
> Une autre piste : il me semble que, si da(x) est le degré du polynôme
> minimal de x, alors da(q.x) <= da(x) pour q rationnel, et da(x+y)
> se majore en fonction de da(x) et da(y). En particulier, le
> da des éléments d'un espace vectoriel finiment engendré par
> des éléments de da fini est majoré. Donc supposons l'espace
> vectoriel engendré par les racines p-èmes de 2 de dimension finie,
> on a alors dedans uniquement des éléments dont le da est majoré.
> Comme la suite des da. des racines p-èmes de 2 tend vers l'infini,
> on a une contradiction. (Note : da = degré algébrique).
Bonjour :)
Je tiens d'abord à tous vous remercier pour vos réponses ; elles ne m'ont
pas aidé (je veux dire pas à temps, le DM était pour vendredi) mais elles me
donnent des tas de démo variées qui sont toutes interessantes ;
de mon côté, à 1h du mat j'ai trouvé un truc, mais je n'en suis pas sûr ; je
l'ai néanmoins écrit dans ma copie et rendu, on verra bien :)
J'ai considéré I ensemble fini inclus dans l'ensemble des nombres premiers,
et n = prod (i dans I) + 1 qui est alors premier (analogie avec la démo
d'Euclide pour prouver que l'ensemble des nombres premiers est infini)
Au départ je dis que sum(li * (racine i-éme de 2), i dans I) = 0 (mon
hypothèse de départ de l'indépendance linéaire)
Ensuite, je trouve un polynôme annulateur de la racine (n-1)-ième de 2, qui
me fournit un deuxième polynôme annulateur de la racine n-ième de 2 avec des
coeff certes différents du premier, mais toujours rationnels (en k * li)
Et là je conclue, sachant que deg (polynôme2) = (n-1)/(min I) < n qui est
premier donc polynôme2 = 0 et tous ses coeff sont nuls.
Voilà je ne suis pas trop sûr de la rigueur de tout ça.
Le Sat, 22 Nov 2003 19:19:01 +0100,
Julien Baglio <jbaglio@free.fr> grava à la saucisse et au marteau:
> J'ai considéré I ensemble fini inclus dans l'ensemble des nombres premiers,
> et n = prod (i dans I) + 1 qui est alors premier (analogie avec la démo
En fait, c'est un peu embêtant, parce que dès cette ligne-là, c'est faux.
Tu sais juste que n ne sera divisible par aucun nombre de I, mais il
peut être divisible par un nombre premier qui n'appartient pas à I.
Typiquement, si tu prends I={3,5}, ça marche pas des masses. Sinon, on
aurait un algo pour générer des nombres premiers de plus en plus grands
très rapidement.