Moyenne et dérivée

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Posted by: aure555

Bonsoir, j'ai une question concernant la résolution d'un exercice de probabilité qui nous a été fourni et dont voici l'énoncé :

Soit X une variable aléatoire discrète qui prend des valeurs non nulles sur l'ensemble {-2,-1,0,+1,+2,+3,...} et des valeurs nulles pour les autres réels.
Ces valeurs sont données par la loi P_X{k} = \frac{1}{2^{k+3}} k=-2,-1,0,+1,+2,+3,...

Il faut vérifier que c'est bien une loi de probabilité. ça ok.

Ensuite il faut calculer sa moyenne et sa variance.

On a donc la moyenne = E(X) = \sum_{k=-2}^{+\infty} \,k P_X{k}.

Considérons une progression géométrique quelconque de raison r (0 < r < 1)

1+r+r^2+r^3+...+r^n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}

En dérivant cette expression par rapport à r, on obtient :

1+2r+3r^2+ ... + nr^{n+1} = \frac{-(n+1)r^n}{1-r} + \frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}

Pour r=1/2, et passant à la limite pour n tendant vers l'infini, il vient:

1+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+... = 0+4 = 0

Dès lors
E(X) = \frac{-2}{2^1}+\frac{-1}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}(1+\frac{2}{2^1 }+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...)<br /> \qquad=-1-\frac{1}{4}+\frac{4}{16}<br /> \qquad=-1

Voilà
J'arrive à suivre les calculs mais où je ne comprends pas c'est dans le "raisonnement" de la solution et en particuliée dans l'utilisation des dérivées.
Pourquoi utiliser les dérivées dans ce calcul et sous quel condition peut-on le faire? Qu'est ce que cela apport de plus?

C'est assez vague si il faut préciser n'hésiter pas.
Merci pour l'aide


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par aure555
Pourquoi utiliser les dérivées dans ce calcul et sous quel condition peut-on le faire? Qu'est ce que cela apport de plus?

Je dirais, pourquoi pas ?

Toutes les méhodes sont bonnes, du moment qu'elles sont correctes.

Si tu as d'autres idées pour calculer ça, n'hésite pas ! Mais c'est une méthode classique !

Qu'est-ce que cela apporte ? La solution ! Pour moi, cela suffit comme raison ! A condition bien sûr que l'on n'invente pas des théorèmes bidon en passant à la limite...


Posted by: aure555

lol oui c'est vrai c'est une méthode comme une autre au final
Je pense que je me pose trop de questions...

Merci en tout cas d'y avoir répondu.


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par aure555
lol oui c'est vrai c'est une méthode comme une autre au final
Je pense que je me pose trop de questions...

Merci en tout cas d'y avoir répondu.


J'ai le souvenir d'une solution que j'ai trouvée lorsque j'étais en math'spé. Pour trouver une sommation : il fallait dériver n fois, calculer le résultat dérivé, puis intégrer n fois (trouver la n-ième primitive), et finalement arriver au résultat ! J'ai eu mon petit effet ce jour-là dans la classe...et j'ai eu droit à quelques applaudissements !

C'était au siècle dernier, évidemment...Tout cela est si loin, si loin...










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