Mathématiques - moyen arithm

moyen arithm
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Posted by: aviateurpilot

salut les amis

voila un exo que j'ai deja resolu et je l'ai trouvé amusant
soit $4$ S\subset \mathbb{R}$ tel que:
i) $4$ 1\ ;\ 0\in S$
ii) $4$ \forall (a_1,a_2,...,a_n)\in S^n$ tel que $4$ a_n>a_{n-1}>...>a_2>a_1$ : $4$ \frac{\bigsum_{i=1}^{n}a_i}{n}\in S$

montrer que $4$ \mathbb{Q}\cap [0,1]\subset S$

a vous de jouer

Posted by: bruce.ml

j'immagine que tu ne voulais pas dire que zéro virgule un appartient à S :)

Posted by: Imod

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Posté par bruce.ml

j'imagine que tu ne voulais pas dire que zéro virgule un appartient à S :)

La seule interprétation sensée $\{0;1\}\subset S$ ce qui entraine que toute fraction comprise entre 0 et 1 et dont le dénominateur est une puissance de 2 est aussi dans S .

Imod

Posted by: aviateurpilot

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Posté par Imod

La seule interprétation sensée $\{0;1\}\subset S$ ce qui entraine que toute fraction comprise entre 0 et 1 et dont le dénominateur est une puissance de 2 est aussi dans S .

Imod

oui Imod t'a raison, c'est le 1er resultat evident qu'on peux trouver $\{\frac{k}{2^n}|n,k\in\mathbb{N},0\le k\le 2^n\}\subset S$ .
mais $S$ contient meme tt les rationnels entre 0 et 1

Posted by: bruce.ml

Parfait que vous l'admettiez ça me soulait de le prouver c'est long à écrire en LaTeX

Donc je termine en disant :
Soit $(p,q) \in \mathbb{N}^2, p<q$ , montrons que $\frac{p}{q} \in S$ .

$\frac{p}{q} = \displaystyle \sum_{i=1}^q a_i$ où :
$a_i = 1$ si $i \le p, 0$ sinon.

Il nous faut trouver des $a_i$ distincts, et bien soit !
Supposons p/q < 1/2 (le raisonnement est le même dans l'autre cas)
c'est à dire qu'on a plus de zéros que de uns, et bien on change tous les 0+1 en (0+2^-i) + (2-2^-i) pour i > 1 qu'on sait être dans S. S'il reste plus de deux 0 (mettons z), on procède de la même façon mais cette fois avec les z-1 plus petits nouveaux $a_i$ non nuls en faisant attention de ne pas avoir de conflit, c'est à dire en continuant avec i suffisement grand (plus grand que le dernier de la première étape). Et on a notre décomposition !

Posted by: bruce.ml

Ce qui me gène aviateur, c'est pas tant la virgule, qui est tout à fait correcte ici, mais c'est le S, qui devrait être un S²

Posted by: aviateurpilot

je posterai ma solution apres

Posted by: ThSQ

Exo très joli !

J'ai même pas eu le temps de chercher ... J'ai fait un petit prog Maple pendant le TD c't'aprèm qui détermine les rationnels disponibles au tour n.

> restart;
> with(combinat):
> A := { 0, 1 };
> for inter from 1 to 3 do
> S := subsets(A):
> while not S[finished] do
> SI := S[nextvalue]():
> if (nops(SI) <> 0) then
> sumSI := sum (SI[i], i=1..nops (SI));
> A := A union { (sumSI / nops(SI)) };
> fi;
> od;
> print(nops(A), A); plot(A);
> od;

Ca donne :
3, {1, 1/2, 0}
5, {1, 1/2, 3/4, 1/4, 0}
15, {1, 1/2, 3/4, 1/4, 1/8, 5/12, 1/3, 7/8, 5/8, 3/8, 7/16, 9/16, 2/3, 7/12, 0}

Après 4 c'est exponentiel et j'ai planté le PC

Posted by: Imod

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Posté par ThSQ

Exo très joli !
J'ai même pas eu le temps de chercher ... J'ai fait un petit prog Maple pendant le TD c't'aprèm qui détermine les rationnels disponibles au tour n.

J'aime bien quand on arrive à se montrer moins con qu'un ordinateur , c'est de plus en plus difficile et je crains pour les générations futures .

Imod

PS : je n'ai pas cherché non plus et je n'ai aucune excuse

Posted by: bruce.ml

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Posté par Imod

Pour l'instant les seules preuvent que savent faire les ordinateurs sont des propriétés très simples sur les entiers naturels, par recurrence triviale. On a encore de la marge :p

Posted by: aviateurpilot

contrairement un ordination je l'ai resolu dans 1min et j'ai ecris rediger la demo dans 3min , loool
mon prof d'informatique m'a dit que l'ordinateur est moin intelligent que la bactérie hhhhh

Posted by: namfoodle sheppen

comme on a montré que les dyadiques appartenaient à S il suffit de montrer qu'en sommant n dyadiques distincts on peut obtenir un entier 1=<k=<n-1.
Pour n=2 c'est bon. Supposons le résultat vrai au rang n. Soit 1=<k=<n-2. Si 0 n'apparaissait pas dans la somme à n-1 termes, on le rajoute et c'est bon. Si 0 apparaissait dans cette somme on enlève 0 et on remplace un terme dont le dénominateur est le plus grand par cette somme : r/2^k=r/2^(k+2)+3r/2^(k+2). On a donc le résultat souhaité pour k=<n-2. Maintenant si k=n-1, il suffit de prendre dans la somme les termes 1-ai où les ai sont les termes figurant dans la somme pour k=1.

Posted by: Imod

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Posté par aviateurpilot

contrairement un ordination je l'ai resolu dans 1min et j'ai ecris rediger la demo dans 3min , loool
mon prof d'informatique m'a dit que l'ordinateur est moin intelligent que la bactérie hhhhh

Il me faut déjà au moins 3min pour comprendre le problème , on n'est pas des bêtes !

Imod

Posted by: aviateurpilot

voila ma solution:

1er etapes: on pose $E_n=\{\frac{k}{2^n}|n,k\in\mathbb{N},k\in [0,2^n ] \}$
on a $E_0=\{0,1\}\subset S$
supposons que $E_n\subset S$
donc $\forall k\in\{0,1,2,..,2^{n}-1\}:\ \frac{2k+1}{2^{n+1}}=\frac{\frac{k}{2^n}+\frac{k+1 }{2^n}}{2}\in S$
et on a deja $\forall k\in\{0,1,2,..,2^{n}-1\}:\ \frac{2k}{2^{n+1}}=\frac{k}{2^n}\in S$
donc $E_{n+1}\subset S$
d'ou $4$ \bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_n\subset S$

2eme etape: mtn soit $p<q\in \mathbb{N}$
là je ne vais pas terminer completer ma solution,je vous laisser chercher a touver
$(a_i)_{i=1...q}$ distincts tel que $a_i\le 2^a$ (pour un $a$ suffisament grand) et $\bigsum_{i}a_i=p2^{a}$
et donc $4$ \frac{p}{q}=\frac{\bigsum_{i=1}^{q}\frac{a_i}{2^a} }{q}\in S$
d'ou $4$ [0,1]\cap \mathbb{Q}\subset S$

j vais poster la forme des mes $(a_i)$ apres, a+

Posted by: youssef__

salu les amis
je pense qand poura resoudre ce prob a partir de la definition de la densite

Posted by: bruce.ml

On l'a résolu ce problème. Je l'ai dit rapidement, aviateur a formalisé la chose pour être très précis, je ne vois pas ce qui manque :)

Posted by: aviateurpilot

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Posté par bruce.ml

On l'a résolu ce problème. Je l'ai dit rapidement, aviateur a formalisé la chose pour être très précis, je ne vois pas ce qui manque :)

oui, il manque seulement l'existances des $(a_i)_{i=1...q}$
je l'ai montrer , mais je voulias just que vous chercher a les trouver avant que je poste cette partie complementaire de ma demo.

Citation:

Posté par youssef__

salu les amis
je pense qand poura resoudre ce prob a partir de la definition de la densite

j'ai pensé moi aussi à la densité, mais il ne donne rien de tres special, tout ce qu'on peux trouver c'est que $S\cap [0,1]$ est dense dans $[0,1]$ .
t'a pas vu ma solution?

Posted by: youssef__

Citation:

Posté par aviateurpilot

oui, il manque seulement l'existances des $(a_i)_{i=1...q}$
je l'ai montrer , mais je voulias just que vous chercher a les trouver avant que je poste cette partie complementaire de ma demo.

j'ai pensé moi aussi à la densité, mais il ne donne rien de tres special, tout ce qu'on peux trouver c'est que $S\cap [0,1]$ est dense dans $[0,1]$ .
t'a pas vu ma solution?

si j ai bien lu ta solution
la methode me parrait tres logique
me je vois comment faire pour montrer l existence des Ai

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par youssef__

si j ai bien lu ta solution
la methode me parrait tres logique
me je vois comment faire pour montrer l existence des Ai

je l'ai trouvé, mais je veux que les aute membres cherche aussi,

Posted by: youssef__

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Posté par aviateurpilot

je l'ai trouvé, mais je veux que les aute membres cherche aussi,

si tu veux pas que les membres cherchent ce n est pas necessaire de mettre l exercice sur un forum