Moment d'inertie d'une sphère homogène vide

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Posted by: rifly01

Bonjour,

Je ne vois pas comment calculer le moment d'inertie d'une sphère homogène vide : En fait je ne vois pas la différence entre une sphère homogène pleine (dans les calculs) qui a pour moment d'inertie J_{\Delta}=\frac{2}{5}MR^2.


Merci d'avance,


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par rifly01
Bonjour,

Je ne vois pas comment calculer le moment d'inertie d'une sphère homogène vide : En fait je ne vois pas la différence entre une sphère homogène pleine (dans les calculs) qui a pour moment d'inertie http://www.maths-forum.com/images/l...fbfa79825ed.gif.


Merci d'avance,


c'est quoi une sphère vide??? Je te rappelle qu'une sphère est une surface! Le moment d'inertie que tu mentionnes est celui d'une boule de rayon r.


Posted by: rifly01

Ah,

Je voulais dire, par la sphère vide une coquille sphérique mince de rayon R.
(Une sphère plein dans ce cas est une boule).


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par rifly01
Ah,

Je voulais dire, par la sphère vide une coquille sphérique mince de rayon R.
(Une sphère plein dans ce cas est une boule).


"Sphère pleine" c'est un abus de langage... Si ton prof de géométrie différentielle ou de topo t'entendait!

Bref, le moment d'inertie d'une coquille sphérique est I =2/3mr^2 et celui d'une boule est I = 2/5mr^2

PS : j'ai oublié de préciser qu'il s'agit du moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation... Important!


Posted by: rifly01

Re -

Comment vous faites pour retrouver ce résultat :
I =2/3mr^2 pour une coquille sphérique.

Je ne sais pas poser le calcul.


Posted by: Skullkid

Bonsoir, le calcul se fait sur le même principe que pour le moment d'une boule homogène par rapport à un axe qui passe par son centre, sauf qu'ici il faut intégrer sur la sphère (intégrale double) et non sur une boule.

L'aire d'une sphère de rayon R étant égale à 4\pi R^2, la masse surfacique de la sphère est \frac{m}{4\pi R^2}. A partir de là il n'y a plus à intégrer en coordonnées sphériques :

\displaystyle J=\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{m}{4\pi R^2}(R\sin\theta)^2 R d\theta R\sin\theta d\varphi=\frac{m}{4\pi R^2}\times R^4\times \frac43 \times 2\pi=\frac23 mR^2


Posted by: flaja

Bonsoir.
Il y a une autre méthode (astucieuse) qui utilise les symétries :
Si on prend les moments par rapport à 3 axes perpendiculaires : ils sont égaux.
3 J = \int (x^2+y^2) dm + \int (y^2+z^2) dm + \int (z^2+x^2) dm
3 J = 2 \int (x^2+y^2+z^2) dm
3 J = 2 \int R^2 dm
3 J = 2 M R^2
J = \frac{2}{3} M R^2










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