Modes de convergences

[houda 20]

bonjour à vous tous
considérons E, F deux banach, on munit l'ensemble des applications linéaires de E dans F, continues L(E,F) de la norme
||T||= sup (||Tx||/||x||) pour x dans E différent de 0
on définit les modes de convergences suivants
1-convergence en norme

une suite Tn conv en norme vers T si elle conv vers T pour cette topologie d'espaces de banach

2-la convergence forte

si pour tout x dans E Tnx conv vers Tx dans F

3-la convergence faible

si pour tout x dan E et toute forme linéaire continue L dans F*(le dual topologique de F) on a que
L(Tnx) conv vers L(Tx)

le problème est que je vois vraiment pas le sens de ces divers définitions et la différences entre elles.
pour remédier à ça j'ai cherché quelques contres exemples dans les livres et j'en ai trouvé un mais il me reste de comprendre le vrai sens ou plutôt l'interprétation de tous ce bla bla.

voilà comment je vois ces choses
la 1ere est la convergence dans L(E,F) pour sa norme
la 2eme descend à F i.e on a une convergence dans F
la 3eme descend à C i.e on a une conv dans C.

la 1ere est plus forte que la deuxième car dans la deuxième on parle juste de la convergence des images et non pas de l'opérateur entier 'j'ai bien compris ça grâce à l'exemple que j'ai trouvé'

la troisième est moins forte que la deuxième pour la même raison précédente.

ça je l'ai vu dans l'exemple mais ce que je veux vraiment comprendre pourquoi dans le cas général ce sont ces normes de L(E,F) qui font cette différence, autrement dit, pourquoi ces normes là me donne la convergence de la suites des opérateurs vers l'opérateur limite?

dans l'exemple que j'ai trouvé la suite des opérateurs Tn tend fortement vers 0 i.e que les images de n'importe quel x fixé dans E tendent vers T0=0
mais on a que quelque soit n ||Tn||=1 (la norme de L(E,F) ) donc Tn ne deviendras pas plutôt l'opérateur nul pour n infiniment grand

donc j'ai essayé de voir ça dans R et L(R,R)
est ce que vous pourriez bien me donner un contre exemple dans R
et les différences mode de convergence
j'en suis ure que la conv forte c'est la conv ponctuelle qu'on connait
la première me semble la conv uniforme mais je ne sais pas démontrer ça
pour la faible je n'en sais pas

merci d'avance!

[houda 20]

pour bien préciser ce que je veux
je comprends ces modes là comme ça

la convergence en norme nous donne que notre suite d'opérateurs s'approchent de l'opérateur limite de plus en plus lui même quand n tend vers l'infini. autrement dit pour n sufffffffffffffffisement grrrrand l'opérateur(terme gle de la suite) s'appprocche trop trop de l'opérateur limite i.e qu'ils s'approchent de devenir le même opérateur.

pour la convergence forte, ce sont les images de x dans E par l'opérateur (terme générale de la suite) qui s'approchent des images de x dans E par l'opérateur limite.pour n sufffffffffffffffisement grrrrand l'opérateur(terme gle de la suite) et l'opérateur limite associent aux eléments de E les meme images
c'est vrai ce que je pense là????????

[houda 20]

alors si c'est vrai

pour la conv forte

on que l'opérateur terme gle de la suite aura les même images que l'opérateur limite, ils sont définit sur le même espace donc ils seront égaux, 'bien sur dans le sens Tn tend vers T' 'on a pas définit en classe quand deux opérateurs seront égaux'

alors je pense que pour que deux opérateurs seront égaux on ajoute la condition leurs normes doivent être égales car dans l'exemple on avait la norme de Tn qui nous faisait barrière

[Ben314]

Bonjour houda,
Pour la différence 1) <-> 2), c'est trés exactement la différence C.V. simple <-> C.V. uniforme que tu as déjà du voir précédement.
Pour ta question (i.e. contre exemple sur R), on ne peut pas en trouver car, sur un e.v. de dimension finie, les trois notions coincident...
Si tu ne l'à jamais vu, FAIT EN LA PREUVE, elle n'est pas trés compliquée...

P.S. dans ma tête à moi (ou dans ce qu'il en reste), je ne vois pas les différence entre 1), 2) et 3) comme des différence "l'opérateur est proche de..." OU "les images sont proches..." mais comme... les différentes façons mathématiques d'interpréter le mot "proche".

[houda 20]

donc d'après ce que 'je pense' il existe des opérateurs qui ont les meme images mais de normes différentes
si c'est vrai je veux des exemples je vous en prie.....

[houda 20]

et ce que nous assure la conv en norme c'est l'égalité des normes, et c'est pour ça qu'on aurai que l'opérateur de la suite tend vers l'opérateur limite.......

[houda 20]

Bonjour houda,
Pour la différence 1) 2), c'est trés exactement la différence C.V. simple C.V. uniforme que tu as déjà du voir précédement.
Pour ta question (i.e. contre exemple sur R), on ne peut pas en trouver car, sur un e.v. de dimension finie, les trois notions coincident...
Si tu ne l'à jamais vu, FAIT EN LA PREUVE, elle n'est pas trés compliquée...

P.S. dans ma tête à moi (ou dans ce qu'il en reste), je ne vois pas les différence entre 1), 2) et 3) comme des différence "l'opérateur est proche de..." OU "les images sont proches..." mais comme... les différentes façons mathématiques d'interpréter le mot "proche".

salut Ben
comment ça interprétation de proche??????

[Ben314]

En plus, la façon dont tu utilise le mot "image" d'un opérateur ne "colle pas" avec la définition mathématique : l'image de l'opérateur T, c'est l'ensemble des valeurs qu'il prend. S'il est surjectif, son image c'est F.
Pense tu qu'il soit raisonable de dire que sous pretexte qu'ils sont tout les deux surjectifs, deux opérateurs sont "proches" ?

[houda 20]

oui, oui c'est vrai, je veux dire les images de x par l'opérateur T
oh là là, je suis stupie

[Ben314]

Lorsque tu muni un espace de plusieurs topologie, pour moi, cela signifie que sur le même espace tu met plusieurs notions de "proche".

Par exemple sur une carte d'une ville, deux points peuvent être "proches l'un de l'autre" pour un marcheur à pied et "loins l'un de l'autre" pour un automobiliste (ou le contraire...). Cela veut dire que tu as muni la carte de deux "distances" : la première est le temp de parcours à pied, la deuxième est le temps de parcours en voiture.

Il y a alors deux notions de "proche" pour le même espace (la carte de la ville) :
"proche à pied" et "proche en voiture"

P.S. au niveau "math", c'est moyen comme exemple car les 2 distances ne sont pas symétriques : à cause des sens uniques pour la voiture et à cause des montées/descentes pour le pietons, mais l'idée ne me parrait pas mauvaise...

[houda 20]

voilà, j'ai corrigé ma deuxième participation
revois là et dis moi est ce que tu as compris ce que je veux

[houda 20]

Lorsque tu muni un espace de plusieurs topologie, pour moi, cela signifie que sur le même espace tu met plusieurs notions de "proche".

Par exemple sur une carte d'une ville, deux points peuvent être "proches l'un de l'autre" pour un marcheur à pied et "loins l'un de l'autre" pour un automobiliste (ou le contraire...). Cela veut dire que tu as muni la carte de deux "distances" : la première est le temp de parcours à pied, la deuxième est le temps de parcours en voiture.

Il y a alors deux notions de "proche" pour le même espace (la carte de la ville) :
"proche à pied" et "proche en voiture"

P.S. au niveau "math", c'est moyen comme exemple car les 2 distances ne sont pas symétriques : à cause des sens uniques pour la voiture et à cause des montées/descentes pour le pietons, mais l'idée ne me parrait pas mauvaise...

alors la différences est dans la vitesse de convergence c'est ça????,

[houda 20]

d'accord le mieux est que je te réexplique que ce qui me gène dés le début, ok
je peux commencer

[Ben314]

alors la différences est dans la vitesse de convergence c'est ça????,

ben... non,
la différence réside dans la définition que tu prend du mot "convergence" (ou du mot "proche" ou du mot "limite" ou du mot "s'approche"....)
pour dire que u_n tend vers l, il faut une topologie, et, bien sur, s'il y a deux topologies, il y a deux facons de "tendre" (et "d'etre proche"....)

P.S. je vais bouffer.....

[houda 20]

oui, d'accord je comprends maintenant
stp
pourrais tu me donner la définition dégalité de deux opérateurs?

[houda 20]

ben... non,
la différence réside dans la définition que tu prend du mot "convergence" (ou du mot "proche" ou du mot "limite" ou du mot "s'approche"....)
pour dire que u_n tend vers l, il faut une topologie, et, bien sur, s'il y a deux topologies, il y a deux facons de "tendre" (et "d'etre proche"....)

P.S. je vais bouffer.....

je vais bouffer i.e je vais manger c'est ça
d'accord à ta santé
merci pour l'indication
A+

[Ben314]

oui, d'accord je comprends maintenant
stp
pourrais tu me donner la définition dégalité de deux opérateurs?

Des "opérateurs" ne sont jamais que... des fonctions. il sont égaux lorsqu'ils on même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée et qu'ils prennent la même valeur en tout point de l'espace de départ...

P.S. "bouffer" = manger (c'est un peu de l'argot mais je pense que c'est dans le dico.)

[houda 20]

merci, merci
tu sais j'ai demandé à mon père, il a dit comme tu me l'a dit, et m'a demandé de comparer avec la différence entre la convergence uniforme et la conv simple, dans la conv uniforme les elts de la suite conv dans la meme ligne, i.e qu'ils sont proches en convergeant mais dans la conv simple, non, je pense qu'à peu près c'est ça
la vérité est que:
j'ai avalé ce qu'il a dit sans le déguster, j'ai pas pu le faire, et je ne pourrais pas le redemander car il va commencer à crier et je t'assure que moi je commencerais à ne rien saisir, alors stp, dis moi le sens de la différence entre ces deux convergences, apparemment je ne l'ai pas encore bien compris.
merci

[houda 20]

en plus si on aurai la même image on aura la même norme, c'est évident
j'attends ton explication pour ces deux modes là et après je vais voir si ça m'aiderai à dépasser cette difficulté
ooooooooooooooooooooooouuuuuuuuf, mon dieu, c'est du charabia
merci

[houda 20]

alors ben314 tu en a marre de moi
d'acccord oui je pose trop de questions,je ne comprends pas vite
mais je t'en suppppppppppplie une réponse et c'est fini, je me débrouillerai après
pleaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaase, soyez généreux, vous l'etes déjà, ..........