Minimum d'un produit de distances.

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Posted by: yos

Bonsoir.
Voici un exercice pour lequel je ne suis pas sûr qu'il y ait une solution type olympiade.

Dans le plan, on considère n points A_1,...,A_n et un cercle \Gamma de rayon 1.
Démontrer qu'il existe un point M de \Gamma tel que
\displaystyle{\prod_{k=1}^nMA_k \geq 1.


Posted by: darkmaster

Tu as une solution type non-olympiade?


Posted by: yos

Citation:
Posté par darkmaster
Tu as une solution type non-olympiade?

Oui. Je la donnerai si ça intéresse quelqu'un.


Posted by: MikO

laisse nous un peu chercher :p


Posted by: Imod

On ne peut pas s'empêcher de penser au principe du maximum mais il faudrait fouiller un peu plus .

Imod


Posted by: Imod

J'ai en effet trouvé une solution simple ( si on a ) utilisant le principe du maximum , je vais voir maintenant si on peut voir le problème autrement .

Imod


Posted by: yos

Ma solution est plus terre à terre tout de même. Tu peux nous donner la tienne si tu veux.


Posted by: Imod

Je te donne ma solution demain , elle est courte mais nécessite un peu de "latex" et après 12 heures d'interruption d'électricité , je pare au plus pressé ( tempête oblige ) .

A demain ,

Imod


Posted by: Imod

Il suffit de considérer le cercle trigonométrique et n points A_i d'affixes a_i . On pose \displaystyle{f(z)=\prod_{i=1}^n(z-a_i)} alors \displaystyle{f(z)=\sum_{i=0}^nb_iz^i avec b_n=1 . \displaystyle{g(z)=\sum_{i=0}^nb_iz^{n-i} est holomorphe sur \mathbb{C} et g(0)=b_n=1 . D'après le principe du maximum \displaystyle{\sup_{|z|=1}|g(z)|=\sup_{|z|\leq 1}|g(z)|\geq 1} . Or pour z\neq0 \ , \ g(z)=z^nf(\frac{1}{z}) donc pour |z|=1 \ , \ |g(z)|=|f(\frac{1}{z})| et pour finir : \displaystyle{\sup_{|z|=1}|f(z)|=\sup_{|z|=1}|g(z) |\geq 1} .

Imod


Posted by: yos

Salut.
Pourquoi b_n=1 ?
Ta définition de b_n passe du coef constant au coef dominant non?


Posted by: Imod

f(z)=\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}(z-a_i)=z^n-(a_1+...a_n)z^{n-1}+...}

Imod

PS : J'ai un peu mélangé les i et les k , je vais corriger
PPS : L'intérêt de la fonction g est justement d'échanger les coefficients dominants et constants de f tout en gardant le même module que f sur le cercle unité.


Posted by: yos

C'est bien vu.
Si tu veux éviter le principe du maximum, tu peux écrire l'égalité
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\overline {f(e^{i\theta})}d\theta=1+\sum_{k=0}^{n-1}|b_k|^2 ,
qui découle du fait que l'intégrale sur [0,2\pi] d'un terme
b_k\bar{b_l}e^{i\theta (k-l)} est nulle si k\neq l, et vaut 2\pi|b_k|^2 sinon.










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