Lax-Milgram

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: randhalrens

Bonjour à tous,

J'aimerais en savoir plus sur le théorème de Lax-Milgram et ses applications aux équations aux dérivées partielles...
Je sais que pour pouvoir l'appliquer il faut que la forme bilineaire soit continue et coercitive.
Mais j'en sais pas plus, si quelqu'un l'a deja étudié je serai preneur

Merci


Posted by: BQss

Citation:
Posté par randhalrens
Bonjour à tous,

J'aimerais en savoir plus sur le théorème de Lax-Milgram et ses applications aux équations aux dérivées partielles...
Je sais que pour pouvoir l'appliquer il faut que la forme bilineaire soit continue et coercitive.
Mais j'en sais pas plus, si quelqu'un l'a deja étudié je serai preneur

Merci


Ca sert pour la methode des elements finis.
C'est l'analogue du theoreme de Riesz mais pour les applications bilineaires.


Posted by: randhalrens

Bonjour
merci pour ta reponse,
mais puis je avoir un peu plus de details.
Merci d'avance


Posted by: BQss

Ba Riesz assure l'existence d'un unique u sur l'espace de Hilbert H tel que L(v)=<u|v> si L est continue, pout tout v dans H.

Dans le cas particulier d'une forme bilineaire quelquonque(donc autre que le cas particulier d'une forme bilineaire symetrique defini positive=produit scalaire) cette fois (Toujours dans le cas d'un Hilbert) les conditions du theoreme de Lax-Milgram(A est bilineaire donc+continue+coercive) assure egalement l'existence d'un unique u tel que:
L(v)=A(u,v) toujours si L est continue biensur.

Dans le cas ou la forme A est symetrique, cela revient en fait au theoreme de Riesz car la continuité de A et sa coercivité entraine qu'elle est definie positive(produit scalaire donc), de plus muni de cette nouvelle norme associée au produit scalaire A l'EV est complet car coercivité et continuité entraine que la norme associé à A est equivalente a la norme de H. Comme H est complet muni de cette "ancienne" norme, H est complet muni de cette "nouvelle" norme et on reste dans le cadre d'un Hilbert mais avec un "nouveau" produit scalaire et Riesz s'applique ...


Maintenant pourquoi en a -t-on besoin et bien pour prouver qu'il existe une unique solution au probleme variationnelle* d'une edp qui s'ecrira justement
L(v)=A(u,v).
Une fois qu'on s'est assuré de cette existence on peut s'attaquer a la resolution par la methode des elements finis.

*Pour passer au probleme variationnelle on se place dans le cadre d'un E.V de hilbert H auquel appartient la solution du probleme variationnelle et on multiplie les deux membres de l'EDP par un element v quelquonque de cet EV puis grace a une formule de green en integrant on ramene le probleme a une egalité integrale ou les derivées sont abaissées(au sens plus faible des distributions) ce qui va nous permettre de resoudre le probleme par la methode des elements finis(on aura montrer avant que le probleme varationnelle est equivalent au probleme au limite c'est a dire sous sa forme originelle, ce qui n'est pas tout le temps le cas, notamment quand l'EV sur lequel on travaille ne contient pas D(omega), ce qui empeche de passer par les distributions et empeche la reciproque qui utilise l'injectivité L2-->distribution...).
L(v) est donc generalement une integrale et A(u,v) generalement la somme de deux integrales(issu de la formule de Green). En fonction des conditions aux limites on aura avant defini dans quel hilbert on travaille, on travaille souvent sur la fermeture de D(omega) dans les espaces de sobolev H1 H2 etc( ce cas la correspondant a des solutions s'annulant sur la frontiere) ...

Si tu veux un cours complet :
Brigitte Lucquin edition ellipses est la reference.


Posted by: randhalrens

bonjour,

Merci super pour tes réponses en fait je suis mieux calé en informatique et physique plutot qu'en maths...

A plus










-