Mettre une fonction rationnelle en éléments simples

[warrior_77]

Bonjour, j'ai un problème pour mettre en éléments simples une fonction rationnelle :

(5X^5 + 2X^4 + 9X^3 + 2X^2 + 6X) / (X^2 - 1)(X^2 + 1)^2

= a/(X-1)
+ b/(X+1)
+(cX + d) / (X^2 + 1)
+(ex + f) / (X^2 + 1)^2

Je multiplie par x-1 et je remplace x par 1, j'ai a = 3
Je multiplie par x+1 et je remplace x par -1, j'ai b = 2
Je multiplie par (X^2 + 1)^2 et je remplace x par i, j'ai e = -1
Je multiplie par x et fait tendre vers l'infini, je trouve c = 0
Je remplace x par 0, j'ai d+f = 1
Mais pour trouver la deuxième équation avec d et f, je ne trouve pas un moyen efficace.
J'ai essayé de remplacer x par -2 et par -1/2 mais ca me fait des calculs beaucoup trop longs et donc dangereux à utiliser en interro.

Avez vous une méthode ?

[Maxmau]

Bonjour, j'ai un problème pour mettre en éléments simples une fonction rationnelle :

(5X^5 + 2X^4 + 9X^3 + 2X^2 + 6X) / (X^2 - 1)(X^2 + 1)^2

= a/(X-1)
+ b/(X+1)
+(cX + d) / (X^2 + 1)
+(ex + f) / (X^2 + 1)^2

Je multiplie par x-1 et je remplace x par 1, j'ai a = 3
Je multiplie par x+1 et je remplace x par -1, j'ai b = 2
Je multiplie par (X^2 + 1)^2 et je remplace x par i, j'ai e = -1
Je multiplie par x et fait tendre vers l'infini, je trouve c = 0
Je remplace x par 0, j'ai d+f = 1
Mais pour trouver la deuxième équation avec d et f, je ne trouve pas un moyen efficace.
J'ai essayé de remplacer x par -2 et par -1/2 mais ca me fait des calculs beaucoup trop longs et donc dangereux à utiliser en interro.

Avez vous une méthode ?

"Je multiplie par (X^2 + 1)^2 et je remplace x par i, j'ai e = -1" mais aussi f (égalité de 2 complexes)
tu termines avec le coup du X infini et X=0