Méthode pour primitives

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Posted by: Train

Bonjour à tous,
je souhaiterais savoir comment s'y prendre pour calculer la primitive de la fonction
2
f(x)= ------------
x ( x² -1 )

sans utiliser les IPP. Je pense qu'un changement de variable serait le bienvenu.
Mais je ne trouve pas. Pouvez vous m'aider je vous prie
Merci
Train


Posted by: train

désolé mauvais mise en page

f(x) = 2 / (x(x²-1))


Posted by: grosmalin

a part l' IPP je vois pas, et encore je trouve un résultat hallucinant.
Sinon peut etre que les autres pourront te répondre.


Posted by: Nightmare

Bonjour

Tu peux décomposer ta fonction en élément simple


Posted by: Train

c'est à dire ?
Peux tu être un peu plus explicite ?
Merci
Train


Posted by: Nightmare

Trouve les réels a, b et c tels que :
3$\rm \frac{1}{x(x^{2}-1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1}




Posted by: Train

Bien d'accord avec toi.
ca simplifie nettement l'écriture.
Mais comment t'y prends tu pour déterminer les réels a b et c ?
Il faudrait plusieurs équations...
Je ne vois pas vraiment
Merci
TRain


Posted by: Nightmare

Tu ne connais pas la méthode d'identification ? c'est niveau premiére. Tu réduis au même dénominateur et tu identifies :
Deux polynômes sont égaux si ils ont le même degré et si leur coefficients sont égaux




Posted by: train

Oui je vois ce que tu veux dire.
Mais le problème c'est qu'une fois que j'ai ma fraction sur le dénominateur commun je ne peux pas vraiment identifier étant donné que je sais juste que le numérateur doit être égal à 1. Vois tu ce que je veux dire ?


Posted by: Nightmare

Non.

Quel polynôme as-tu obtenu au numérateur en mettant au même dénominateur ?


Posted by: Train

celui ci

a(x²-1)+b(x²+x)+c(x²-x)

Donc par identification ce polynome est égal à 1...
Non ?


Posted by: Nightmare

Déja, met ensemble les termes de même degré

a(x²-1)+b(x²+x)+c(x²-x)=(a+b+c)x²+(b-c)x-a

On veut que ce polynôme soit égal au polynôme constant valant 1

Ainsi, on doit avoir :
3$\rm \{{a+b+c=0\\b-c=0\\a=-1
c'est à dire :
3$\rm \{{a=-1\\b=\frac{1}{2}\\c=\frac{1}{2}

Finalement :
3$\rm \frac{1}{x(x^{2}-1)}=\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{x}
et par conséquent :
3$\rm \frac{2}{x(x^{2}-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}




Posted by: train

Je t'aime merci de ta patience.

En ce qui concerne les changements de variables genre sin = u et donc du = cos dx , ceci n'est préférable qu'avec les equa comportant de la trigo ?
Sinon ta méthode suffit elle tjrs ?


Posted by: Nightmare

Non

Par exemple pour trouver les primitives de x->1/(1+x²) . Il n'y a pas de trigo la dedans pourtant on peut les trouver en faisant un changement de variable faisant intervenir la tangente




Posted by: Train

Oui mais là il s'agit d'un cas évident.
en tt cas merci à toi










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