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Vieux 12/06/2012, 14h22
kasmath
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Par défaut Méthode de jacobi et de Gauss Seidel

Bonjour ;

je cherche le cours d'analyse numérique à fin de déterminée quand ses deux méthodes convergent

par Exp :

A=\begin{pmatrix} 1 & \beta & 0 \\  \beta &1  &\beta \\   0& \beta & 1 \end{pmatrix}
et la question se pose Sans calcule donner une condition suffisante sur \beta pour que les méthodes d’itération de jacobi et de Gauss soit convergente .


et Merci d’avance



Dernière modification par kasmath 12/06/2012 à 14h36.
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Vieux 12/06/2012, 16h28
zork
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il faut chercher le rayon spectral, s'il est inférieur à 1, la méthode converge
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Vieux 12/06/2012, 16h57
kasmath
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La Relation Du Rayon Spectral ??
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Vieux 12/06/2012, 18h54
zork
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je prend par exemple la méthode de jacobi: A=D-N avec D=I

donc D^(-1)N=N. N ayant des 0 sur la diagonale et des -bêta ailleurs

les valeurs propres de N sont: +- \sqrt{2} |\beta| et 0

on note p le rayon spectral.
si \beta =0, la seule valeur propre de N serait 1 et la méthode de jacobi ne converge pas.

donc \beta est différent de 0 toujours
donc p(N)= \sqrt{2} |\beta|

pour que p(N)<1, il faut que |\beta| < \sqrt{2} et la méthode converge
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Vieux 12/06/2012, 19h51
kasmath
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SOYANT UN PEUT CONCRET ,
D'APRES SE QUE TU A ECRIT
N=\begin{pmatrix}0 &amp; -\beta  &amp; 0 \\ -\beta &amp; 0 &amp; -\beta \\ 0 &amp; -\beta &amp; 0 \end{pmatrix}

cela donne
N.N=\begin{pmatrix}\beta^2 &amp; 0 &amp; \beta^2 \\ 0 &amp; 2 \beta^2 &amp; 0 \\ \beta^2 &amp; 0 &amp; \beta^2 \end{pmatrix}
je voie QUE LE MAX EST 2\beta^2 D'OU SA VIENT LA RACINE \sqrt{2\beta^2}


Merci BCP

Dernière modification par kasmath 12/06/2012 à 20h04.
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Vieux 12/06/2012, 20h01
zork
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dans la matrice N, ce sont des -bêta, puis tu cherches les valeurs propres de N
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