Méthode daproximation d'Euler (1ere S)

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boboss
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méthode daproximation d'Euler (1ere S)

par boboss » 03 Jan 2008, 15:26

Bonjour, j'ai des soucis sur cet exercice, quelqu'un peut-il m'aider svp ! merci
voici l'exercice:

Au XVIIIe siècle, le (célèbre) mathématicien suisse Leonhard Euler propose une méthode pour déterminer une valeur approchée de 20. Le texte reproduit est le début du paragraphe 786 des Eléments d'algèbre d'Euler:

Nous éclaircirons cette méthode par un exemple facile, en cherchant par approximation la racine de l'équation xx = 20.
On voit ici que x est plus grand que 4 et plus petit que 5; en conséquence de cela on fera x = 4+p, et on aura xx = 16+8p+pp = 20; mais comme pp est très petit, on négligera ce terme pour avoir seulement l'équation 16+8p = 20, ou 8p = 4 ; elle donne p = 1/2 et x = 4 1/2, ce qui approche déjà beaucoup plus de la vérité.

Si donc on suppose à présent x = 4 1/2 + p ; on est sûr que p signifie une fraction encore beaucoup plus petite qu'auparavant, et qu'on pourra négliger pp à bien plus forte raison. On aura donc xx = 20 1/4 + 9p = 20, ou 9p = -1/4 et par conséquent p = -1/36 ; donc x = 4 1/2 - 1/36 = 4 17/36



1) Lire le texte d'Euler (par "fraction" il faut comprendre "nombre compris entre 0 et 1")

2) a] Calculer pp (autremend di ) pour des valeurs de p comprises entre 0 et 1.
Rep: p=0.1 ==> pp=0.01
p=0.2 ==> pp=0.04
p=0.3 ==> pp=0.09
....
p=0.9 ==> pp=0.81

b]Que peut-on penser du fait de négliger devant p ?

c]Prouver que la fonction p l--> p² est négligeable devant p

3) Refaire les calculs d'Euler. que signifie 4 1/2 ?
Rep: ici la notation n'est pas comme elle devrait être mais 4 1/2 signifie 4 + 1/2 c-a-d 4.5

4) Justifier que remplacer par 16+8p pour x=4+p revient à remplacer la fonction carré par son approximation affine en 4.

MERCI DE VOTRE AIDE



boboss
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par boboss » 03 Jan 2008, 16:48

quelqu'un peut-il m'aider svp ? :triste:

boboss
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par boboss » 06 Jan 2008, 17:08

svp j'ai besoin d'aide

gregoil
Messages: 2
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par gregoil » 06 Jan 2008, 17:18

2) b) p² est beaucoup plus petit que p.. enfin presque...

et je réfléchis pour la 4 ^^

 

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