Mathématiques - Mesure produit

Mesure produit
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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir, j'ai du mal à montrer ce théorème:

Soient $(E_1,\mathcal{A}_1,\mu_1),\cdots,(E_m,\mathcal{A}_ m,\mu_m)$ $m$ espaces mesurés $\sigma$ -finis.

On considère l'ensemble des pavés mesurables sur $E_1\times\cdots \times E_m$ :

$3$\Bigprod = \{A_1\times \cdots \times A_m:\ \forall j,\ 1\leq j \leq m,\ A_j \in \mathcal{A}_j\}$ ,

et la tribu produit sur $E_1\times \cdots \times E_m$ :

$2$\mathcal{A_1}\otimes \cdots \otimes \mathcal{A_m} = \bigotimes_{j=1}^m \mathcal{A}_j = \sigma(\bigprod)$ .

Citation:

Il existe une unique mesure $\mu$ sur $(E_1\times \cdots \times E_m, \mathcal{A}_1\otimes \cdots\otimes \mathcal{A}_m)$ telle que
pour tout $A_1\times \cdots \times A_m \in \Bigprod,\ \mu(A_1\times \cdots \times A_m)=\mu_1(A_1)\times \cdots \times \mu_m(A_m)$ .

$\mu$ est appelée mesure produit de $\mu_1,\cdots,\ \mu_m$ et est notée $\mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_m$

Déjà pour l'existence, je pense qu'il faut procéder par récurrence sur $m$ .

Pour $m=1$ , c'est ok.

Mais pour $m=2$ , je ne vois pas comment procéder, pour montrer la $\sigma$ -additivité (ie pour toute famille dénombrable disjointe $(A_n)_{n\geq 1}$ , on a $\mu(\bigcup_{n\geq 1} A_n) = \bigsum_{n\geq 1} \mu(A_n)$ ).

Merci pour vos indications.

Posted by: tize

Bonjour legénie,
il me semble bien que c'est une question assez difficile et longue à traiter (surtout l'existence)... tu peux faire une recherche sur google : mesure produit, tu trouveras des cours avec idées de démonstrations et même des démonstrations complètes.
Bon courage, c'est assez long si l'on fait tout dans les détails.
Cordialement.

Posted by: Lierre Aeripz

Bonjour,

Ca ne m'étonne pas que ait du mal à montrer la $\sigma$ -additivité puisque tu ne semble pas avoir contruit $\mu$ ...

Le théorème n'est pas simple du tout. Je te renvoie à [1] pour un cours complet.

[1] http://www.dma.ens.fr/edition/Notes...003/CoursIP.pdf

(Beaucoup de notes de cours des cours donnés à l'ENS sont disponibles ici : http://www.dma.ens.fr/edition/NotesCours/index.html , profitez-en.)

Posted by: legeniedesalpages

Bonjour tize et lierre aeripz,

merci pour vos indications, c'est vrai que notre prof a admis tous les résultats concernant la caractérisation et la construction de la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{R}^d$ (à raison je pense, en moins de 20h, il doit nous faire un cours sur mesure/intégration/probas , donc il n'a pas pu trop s'attarder sur la mesure).

Et c'est vrai que la mesure donnée est "construite" seulement sur les pavés mesurables.

Je vais consulter vos liens.

Pour l'unicité, je pense qu'il y aura moins de problèmes, si j'arrive à montrer que $\bigprod$ est un $\pi$ -système, j'utilise alors la caractérisation d'une mesure sur un $\pi$ -système et normalement c'est bon.

Posted by: Lierre Aeripz

Qu'appelles-tu un $\pi$ -système ?
(Ton prof doit bien aimer les lettre-grecque quelque chose :) )

Posted by: BQss

Salut, la réference pour moi en théorie de la mesure:

Mister Jacod
voila son cours de licence http://www.proba.jussieu.fr/cours/Integr01.pdf , ta demo page 57, et je peux te confirmer ce qu'on t'as dit, elle ne se demontre pas comme ca, et generalement on l'a démontre en meme temps que l'on démontre fubini(cf poly) , a l'epoque je l'avais eu a un oral, aujourd'hui j'ai un peu oublié lol, c'est pas mal technique.

Avis au amateurs, son cours de dea de calcul sto mouvement brownien, pour les kamikazes, je vous dirai si j'en serai ressorti indemne http://www.proba.jussieu.fr/cours/DEA-07.pdf.

Et pour des petits poly d'autres stars internationallllles grgrgrgrrrr http://www.proba.jussieu.fr/supports.php, mention speciale a Yor et Bertoin.

Et d'une manière generale je ne saurai trop conseiller de visiter les pages personnelles des gens du labo de chevaleret, cliquez sur equipe de recherche dans le lien ci dessus, si vous aimez les probas et la théorie de la mesure, je vous garanti une orgie festive.

a+ et vive las probas

PS: si vous avez la chance d'y aller, c'est comme a Orsay, profitez de cette occasion de cotoyer tous ces gens a la pointe de la recherche, chevaleret(P6 P7) est le labo de mathématiques le plus actifs au monde et en particulier en proba, alors sachez que si vous aimez ca, vous avez de la chance d'etre francais...

Posted by: BQss

Excuse j'avais oublié de mettre le cours emporté par mon enthousiasme

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Lierre Aeripz

Qu'appelles-tu un $\pi$ -système ?
(Ton prof doit bien aimer les lettre-grecque quelque chose :) )

Mon prof a pris comme définition de $\pi$ -système :

Citation:

Soit E un ensemble. Un ensemble $\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(E)$ est un $\pi$ -système si

$\mathcal{C}$ est stable par intersection finie;

$\mathcal{C}$ contient une famille dénombrable croissante exhaustive (ie il existe un sous-ensemble $\{C_n:\ n\geq 1\}\subset \mathcal{C}$ tel que $C_n \uparrow_n E$ ).

J'ai vu qu'il y avait des démos différentes dans le pdf de Jf Legall de le bouquin de Briane & Pagès (que m'a conseillé tize il y a pas longtemps) de $\pi$ -systèmes qui était plus forte.

Merci BqSS pour ces sours c'infos, je les mets dans mes favoris

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par BQss

je vous dirai si j'en serai ressorti indemne http://www.proba.jussieu.fr/cours/DEA-07.pdf.

oui effectivement, bonne chance :)