Mesure et probabilité

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Posted by: mariounette

Bonjour à tous, j'aurais deux petites questions...

Première question : dPx(t) = g(t) dt avec Px mesure à densité par rapport à la mesure de Lebesgue. C'est écriture ne veut-elle pas dire que g est le taux d'accroissement de Px ???

Deuxième question : Pourquoi faut-il impérativement qu'une mesure soit absolument continue par rapport à une autre mesure pour qu'elle admette une densité, pourquoi continue ne suffit-il pas ?


Posted by: mariounette

Je viens de comprendre toute seule ma question 2. Bon ben il ne reste donc plus que ma question 1 lol


Posted by: BQss

Citation:
Posté par mariounette
Bonjour à tous, j'aurais deux petites questions...

Première question : dPx(t) = g(t) dt avec Px mesure à densité par rapport à la mesure de Lebesgue. C'est écriture ne veut-elle pas dire que g est le taux d'accroissement de Px ???


Là ou Px:t->Px(t) est dérivable oui. Si Px est a densité, au minimum Px est continue(il n'y a pas de saut).
On peut imaginer une densité du type:
f(x)=a1_{[x;y]}+b1_{[y;z]. En y F(t)=\int_{-\infty}^t f(x)dx serait continue mais pas dérivable et donc f(y) ne serait pas son taux d'accroissement en y.
En fait quand Px(là où Px) est dérivable, on a g(t)=dPx(t)/dt en effet.


Posted by: mariounette

ok donc g est la densité de Px là où Fx est dérivable. Mais puisque g est obligatoirement positive ça voudrait dire que Px est croissante!!!!! c'est pas vrai ça????


Posted by: mariounette

Dans ton exemple Fx n'est pas dérivable en y certes, mais elle est dérivable presque partout et sa dérivée presque partout est bien la densité g. J'ai l'impression que le seul endroit où en dérivant simplement on se trompe c'est aux points de discontinuités de Fx, il faut dériver au sens des distributions pour faire apparaître les diracs. Mais je sais que c'est faux car il y a aussi la partie mesure étrangère à la mesure de Lebesgue, et celle là je ne sais pas comment on la voit sur Fx.


Posted by: BQss

Citation:
Posté par mariounette
ok donc g est la densité de Px là où Fx est dérivable. Mais puisque g est obligatoirement positive ça voudrait dire que Px est croissante!!!!! c'est pas vrai ça????

Oui biensur mais c'est parce qu'on integre une fonction positive, la ou F est dérivable cette croissance se traduit par une dérivée positive. On est pas obligé de parler de dérivabilité.


Posted by: mariounette

Excuse moi mais j'ai absolument pas compris ta réponse...

et ça ne me dit pas où est mon erreur que je ne vois pas sur : g est le taux d accroissement de Px et g positive implique Px croissante et ça c faux...


Posted by: BQss

Citation:
Posté par mariounette
Dans ton exemple Fx n'est pas dérivable en y certes, mais elle est dérivable presque partout et sa dérivée presque partout est bien la densité g.

oui.

Citation:
[QUOTE]J'ai l'impression que le seul endroit où en dérivant simplement on se trompe c'est aux points de discontinuités de Fx

aux points de discontinuité il y a des sauts et pas de densité, la dérivée au sens des distributions de F(avec a_i les points de discontinuité) aura la forme h=\{F'\}+\sum\gamma_a_i[F(a_i^+)-F(a_i^-)] et dF=\{F'\}dx+\sum\gamma_a_i[F(a_i^+)-F(a_i^-)], avec P(X=a_i)=[F(a_i^+)-F(a_i^-)] et \gamma_a_i la mesure de dirac en a_i

Citation:
il faut dériver au sens des distributions pour faire apparaître les diracs. Mais je sais que c'est faux car il y a aussi la partie mesure étrangère à la mesure de Lebesgue, et celle là je ne sais pas comment on la voit sur Fx.

ce n'est pas faux, tu tomberas sur la fonction f(t) tel que dF=g et F(t)=\int dF=\int_{-\infty}^t \{F'\}dx+\int_{-\infty}^t \sum \gamma_a_i[F(a_i^+)-F(a_i^-)],
mais ce ne sera pas une densité de probabilité car en certain point(la ou intervient la mesure de dirac) Px n'est pas absolument continue(la densité est infinie en somme en ces points là).


Posted by: BQss

Citation:
Posté par mariounette
Excuse moi mais j'ai absolument pas compris ta réponse...

et ça ne me dit pas où est mon erreur que je ne vois pas sur : g est le taux d accroissement de Px et g positive implique Px croissante et ça c faux...

Qu'est c'qui est faux, si l'intégrande est positive si tu intègres sur ]-\infty,t] l'intégrale qui est la fonction de répartition est croissante, la notion de dérivée n'intervient pas (juste que g est positive).
La notion de dérivée n'intervient si on le veut que la ou F est dérivable et là ou F est dérivable f sera un taux d'accroissement(positif) en effet.
L'expression de f c'est le F' dans <F',\phi>, la ou f est dérivable {F'}=F' et les notions de dérivée au sens des distributions et de dérivée cohincident.


Quelle est exactement ta question. Sois plus explicite.


Posted by: mariounette

Ce que je ne comprends pas c'est que : admettons que Fx soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Alors Fx = Px non ????
Et donc Px est croissante mais ça c faux !!!! Px peut être une variable continue mais pas croissante !!! Je sais que j'ai rien compris lol mais je ne vois pas où j'ai faux. De plus si Px = Fx, Px n'est pas nulle sur les singletons ça encore c'est faux.


Posted by: Pouick

hmmm.. et pkoi Fx = Px ..?


Posted by: BQss

Dans un premier temps tu t'embrouilles entre les notions F(t) et Px, F(t)=Px(]-\infty,t]), l'une est une fonction mesurant l'intervalle -l'infini jusqu'a t, l'autre est la mesure elle meme.
Ce qui n'empeche que dPx=dF. Mais F et Px ce n'est pas la même chose:

ensuite:

Citation:
Ce que je ne comprends pas c'est que : admettons que Fx(non Px) soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Alors Fx = Px non ????
Et donc Px est croissante mais ça c faux !!!!

En notant F et pas Fx:
Une fonction de répartition est biensur croissante que la mesure possède une densité ou pas car elle mesure un intervalle croissant à droite...
Dans ton exo dPx est la mesure élementaire et "dPx/dt"=dF/dt=g(t)

Citation:
Px ( non F:t->F(t)) peut être une variable continue( attention c'est une mesure) mais pas croissante !!!

voir plus haut, F est biensur croissante:F(t)=P(]-\infty;t])...

Citation:
De plus si Px = Fx(voir plus haut), Px n'est pas nulle sur les singletons ça encore c'est faux.

Px est nulle sur les singletons a l'exception des singletons ou F est discontinue(ou il y a des sauts), en ces endroits:
Px(\{a_i\})=dF(a_i)=F(a_i^+)-F(a_i^-) \, \neq 0 ailleurs(la ou F est continue) Px(\{t\})=dF(t)=f(t)dt=0 et là ou F est en plus dérivable ce f est la dérivée de F.


Posted by: mariounette

MDR pouick ça m'a trop fait rigolé ton message


Posted by: mariounette

On ne s'interesse pas aux points de discontinuités ça g bien compris.
Moi ce qui me chagrine c'est quand F est absolument continue.
je suis d accord que si dF = dP ça ne veut pas dire que F = P mais elles sont ègales à une constante C près et si F croît P croît et ça c'est faux.


Je sais que F(t) = P(]-infini,t]) et à partir de cette définition que F soit croissante c'est évident.

Est-ce que F(t) = P(]-infini,t]) est une définition ou cela se montre t-il ?

La vrai définition de la fonction de repartition c'est que c'est une fonction croissante continue à droite admettant une limite à gauche tendant vers 0 en -infini et tendant vers 1 en +infini.

Est-ce que cette definition suffit à montrer l'existence d'une mesure de probabilité telle que F(t) = P(]-infini,t])

Maintenant si F est absolument continue (donc pas de mesure atomique) F et P ont même taux d'accroissement non ? Puisque F(t) = intégrale de g de -infini à t et dP = g dt ?


Px(\{t\})=dF(t)=f(t)dt=0 La tu écris Px(t) = dF(t) mais c'est faux c'est dPx=dF


Je pense que si tu comprends pas mon problème c'est que je me suis grave embrouillée et que je dois méditer dessus. Merci quand même d'avoir essayé de m'expliquer.


Posted by: BQss

Citation:
Posté par mariounette
si F croît P croît et ça c'est faux.

P ne croit pas c'est une mesure, elle est définie sur des ensembles. F croit.


Citation:
Je sais que F(t) = P(]-infini,t]) et à partir de cette définition que F soit croissante c'est évident.

Est-ce que F(t) = P(]-infini,t]) est une définition ou cela se montre t-il ?

C'est la définition.

Citation:
La vrai définition de la fonction de repartition c'est que c'est une fonction croissante continue à droite admettant une limite à gauche tendant vers 0 en -infini et tendant vers 1 en +infini.

Ca découle de la définition.

Citation:
Maintenant si F est absolument continue (donc pas de mesure atomique) F et P ont même taux d'accroissement non ? Puisque F(t) = intégrale de g de -infini à t et dP = g dt ?

P n'a pas de taux d'accroissement, P n'est pas définie sur des t mais sur des ensembles tel que {t} ou [a;b] ou ]\infty;t] par exemple, ca n'a pas de sens de parler de sa croissance, a moins que l'on definisse soigneusement une suite d'ensemble eventuellement et que l'on parle de croissance sur cette suite. P({t}) n'est pas croissante(pas strictement en tout cas ) et si F est continue P est sur {t} constamment nulle.

Citation:
Je pense que si tu comprends pas mon problème c'est que je me suis grave embrouillée et que je dois méditer dessus. Merci quand même d'avoir essayé de m'expliquer.

Il n'y a pas vraiment de probleme tu cherches a comprendre le sens de ce que tu manipules et en vulgarisant tu fais quelques imprecisions et rapprochements qui s'averent pour certains faux pour d'autres judicieux.


Posted by: mariounette

Ok tout ce que tu me dis c'est tout ce que je me disais avant que je m'attarde sur le notation dPx = g dt. Je crois que cette notation m'a à fond induite en erreur surtout que l'on dit que g est la densité de Px par rapport à la mesure de Lebesgue. Moi j'ai pris ça comme g étant le taux d'accroissement de Px par rapport à \lambda .

Et je parlais de la croissance de Px sur la droite réelle. Mais tu me dis que Px n'est pas une fonction. Si c'est une fonction mais ce n'est pas une fonction sur un espace totalement ordonné, Px est défini sur une tribu A à valeurs dans \bar{\mathbb{R_{+}} } et la raison pour laquelle on ne peut pas parler de croissance de Px est qu' Un ensemble d'ensembles n'est que (en générale) partiellement ordonné, non ?


Le théorème de Radon nikodym nous dit : \nu << \mu implique qu'il existe une fonction positive f telle que \nu(A) = \int_{A} f d\mu . On note f = \frac{d\nu}{d\mu} et f est appelée la densité de \nu par rapport à \mu

En fait f = \frac{d\nu}{d\mu} est une définition propre, une notation convenue pour les mesures. Je trouve que ça induit quand même vachement en erreur parce que moi ça m'a complètement chamboulé mais je crois que j'ai remis la tête à l'endroit lol enfin j'espère.


Posted by: BQss

Citation:
pour laquelle on ne peut pas parler de croissance de Px est qu' Un ensemble d'ensembles n'est que (en générale) partiellement ordonné, non ?


En effet et l'ordre se definit eventuellement par rapport à l'inclusion, sur la suite d'ensemble A_k=]-\infty;k] par exemple, P est croissante biensur.


Posted by: mariounette

Tu es quelqu'un de hyper patient ... merci


Posted by: BQss

Pas de probleme , je te laisse je vais au sport .


Posted by: mariounette

et bien moi je vais à la plage !!!!


Posted by: Pouick

Citation:
Posté par mariounette
MDR pouick ça m'a trop fait rigolé ton message

... ha bin c deja ca ..










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