Comment montrer que si deux matrices réelles sont semblales dans Mn(C) elles
le sont dans Mn(R) ??
merci
mathieu
Posted by: Frederic
On Sat, 8 May 2004 12:44:58 +0200, Mathieu VIENNEY wrote:
>Comment montrer que si deux matrices réelles sont semblales dans Mn(C) elles
>le sont dans Mn(R) ??
Les classiques ont la vie dure...
Je te suggère de décomposer la matrice de passage entre tes deux
matrices selon partie réelle et partie imaginaire.
Spoiler ahead :
Soient A, B deux matrices réelles semblales dans Mn(C).
Il existe donc P dans Mn(C), tel que PAP' = B (P' pour l'inverse de P).
Décomposons P en partie réelle / imaginaire : P = X + iY, avec
X et Y deux matrices réelles. On a donc, par hypothèse,
(X+iY)A = B(X+iY)
soit XA + iYA = BX + iBY
On n'a que des matrices réelles, on identifie partie réelle et
imagniaire :
XA = BX
et
YA = BY
En particulier, pour tout x dans R,
XA + xYA = BX + xBY
donc (X + xY)A = B(X + xY)
Soit M(x) la matrice X + xY, dépendant du paramètre x.
Si M(x0) est inversible, c'est gagné car :
M(x0)A = BM(x0)
donc M(x0)AM(x0)' = B et M(x0) est la matrice de passage.
Comment montrer qu'il existe x0, tel que M(x0) soit inversible ?
En fait, l'application x -> det M(x) est un polynôme réel, dont
on veut montrer qu'il n'est pas uniformément nul. Mais, par
hypothèse, la matrice P qui n'est autre que (formellement) M(i)
est inversible, donc det M(i) est non nul, donc le polynôme
en question n'étant pas uniformément nul sur C, ne l'est
pas non plus sur R.
CQFD.
--
Frédéric
Posted by: Wenceslas
>Comment montrer que si deux matrices réelles sont semblales dans Mn(C) elles
>le sont dans Mn(R) ??
>
>merci
>
>mathieu
t'as passé Centrale toi...
je n'avais pas reussi à faire cette question
Posted by: Osiris
"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news:
> >Comment montrer que si deux matrices réelles sont semblales dans Mn(C)
elles
> >le sont dans Mn(R) ??
> >mathieu
>
> t'as passé Centrale toi...
> je n'avais pas reussi à faire cette question
Faut apprendre ses classiques....
Posted by: Mathieu VIENNEY
Nan, j'ai pas passé Centrale mais j'ai eu le sujet entre les mains ;-)
Faut apprendre ses classiques c'est facile à dire, mais si on les a jamais
vu ....
"Osiris" <nino@amadoo.com> a écrit dans le message de news:
409d5e5d$0$25881$79c14f64@nan-newsreader-04.noos.net...
> "Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news:
> > >Comment montrer que si deux matrices réelles sont semblales dans Mn(C)
> elles
> > >le sont dans Mn(R) ??
> > >mathieu
> >
> > t'as passé Centrale toi...
> > je n'avais pas reussi à faire cette question
>
>
> Faut apprendre ses classiques....
>
>
Posted by: Wenceslas
>Nan, j'ai pas passé Centrale mais j'ai eu le sujet entre les mains ;-)
>
>Faut apprendre ses classiques c'est facile à dire, mais si on les a jamais
>vu ....
>
ben disons que ce "classique" là je ne l'ai jamais vu auparavant. Pourtant j'en
connais des classiques en travaillant avec "les grands classiques de
mathématiques" de Bréal pour ne pas citer.