Mathématiques - matrices orthogonales

matrices orthogonales
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Posted by: guigui777

Donc voilà je dois démontrer que Si A € On(E) <=>
tAA=In, avec tA transposée de A
pour celà j'écris mon poduit scalaire, tXtAAY=tXY
il me reste a montrer que tAA=In,
pour celà on prend X=Ei,1 et Y=Ej,1, on a alors, tXY=1(j=i) ou 0 sinon
et si on note B=tAA, tXBY=bij,
bij=1 ou O, donc tAA=In...
ok pour cette démo. Le seule truc qui me gène c'est pourquoi on peut prendre X=Ei,j, alors que X n'est pas nécéssèrement un vecteur avec des 1 ou des 0... si?

Posted by: aviateurpilot

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Posté par guigui777

Donc voilà je dois démontrer que Si A € On(E) <=>
tAA=In, avec tA transposée de A
pour celà j'écris mon poduit scalaire, tXtAAY=tXY
il me reste a montrer que tAA=In,
pour celà on prend X=Ei,1 et Y=Ej,1, on a alors, tXY=1(j=i) ou 0 sinon
et si on note B=tAA, tXBY=bij,
bij=1 ou O, donc tAA=In...
ok pour cette démo. Le seule truc qui me gène c'est pourquoi on peut prendre X=Ei,j, alors que X n'est pas nécéssèrement un vecteur avec des 1 ou des 0... si?

tXtAAY=tXY est vrai quelque soit X et Y.
en particulier pout X avec des 0 et des 1. (just pour simplifier les caclues)

Posted by: guigui777

ok merci, dans le même genre je dois montrer que si f(XY)=f(YX) avec f linéaire, alors il existe a tel que, f=atr,
pour montrer ca mon prof m'a dit de prendre f(EijEkl)=f(EklEij) déjà pourquoi prendre ca, là c'est le raisonnement qui me gène, une application est entièrement définie par son expression dans une base, donc on regarde f(Eij) c'est ca?

Posted by: Daniel-Jackson

Pour moi c'était plutot une définition mais bon on peut se débrouiller juste avec la proprieté : l'orthogonal de R^n tout entier c'est le vecteur nul :

Comme A est dans O(n) signifie que c'est une isométrie , par polarisation

<Ax,Ay> = <x,y> , où < , > désigne le produit scalaire useul sur R^n .

Or <Ax, Ay>= <tAAx, y> donc <tAAx,y>= <x,y> en faisant la différence et par linéarité en "x" on a:

<tAAx-x,y> = <(tAA-I)x,y>= 0 , quelque soit x, y dans R^n .

A x fixé , quelque soit y dans R^n , le vecteur (tAA-I)x est orthogonal a y donc (tAA-I)x est orthogonal à R^n donc nul (tAA-I)x = 0 par suite x est dans le noyau de l'application linéaire u=tAA-I et comme ceci est vrai quelque soit x , alors le noyau de u est R^n tout entier et donc u est identiquement nulle .....

Posted by: aviateurpilot

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Posté par guigui777

ok merci, dans le même genre je dois montrer que si f(XY)=f(YX) avec f linéaire, alors il existe a tel que, f=atr,
pour montrer ca mon prof m'a dit de prendre f(EijEkl)=f(EklEij) déjà pourquoi prendre ca, là c'est le raisonnement qui me gène, une application est entièrement définie par son expression dans une base, donc on regarde f(Eij) c'est ca?

tu as raison qu'il faut regarder $4$ f(E_{ij})$
mais pour utilisé le faite que $4$ f(XY)=f(YX)$ tu dois se servir de:
$4$ f(XY)=f(YX)\ \Longleftrightarrow \ \forall (i,j,k,l)\in [|1,n|],\ f(E_{ij}E_{kl})=f(E_{kl}E_{ij})$

si $4$ i\neq l, \ f(E_{ij})=0=f(E_{11}).tr(E_{ij})$
si $4$ i=l,\ f(E_ii)=f(E_{i1}E_{1i})=f(E_{1i}E_{i1})=f(E_{11}). tr(E_{11})$

donc $4$ f(X)=a.tr(X)\ avec\ a=f(E_{11})$
donc on a bien utilise le qu'une application est entièrement définie par son expression dans une base,

Posted by: guigui777

ok merci!
Dernière chose qui m'a géner cette semaine, j'ai noté, si u est une forme linéaire de E dans K alors U est srujective, ca veux dire qu'en dimension finie u est bijective? et u est une fome linéaire cad que u est une application linéaire de E dans K...

Posted by: Daniel-Jackson

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Posté par guigui777

ok merci!
Dernière chose qui m'a géner cette semaine, j'ai noté, si u est une forme linéaire de E dans K alors U est srujective, ca veux dire qu'en dimension finie u est bijective? et u est une fome linéaire cad que u est une application linéaire de E dans K...

Entre espaces vectoriels, bijectivité entraine égalité de dimension ...

Posted by: aviateurpilot

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Posté par guigui777

si u est une forme linéaire alors u est surjective car:
$4$ {\{Im(u)\subseteq \mathbb{K} \\ dim(Im(u))=1=dim(\mathbb{K})}\Longleftrightarrow \ Im(u)=\mathbb{K}$
mais $4$ u$ n'est pas bijective sauf si $4$ dim(E)=dim(\mathbb{K})<+\infty$

tu est en mathsup?

Posted by: guigui777

donc c'est pas bijectif, si E et K n'ont pas la même dimension... et pourtant on sait que f bijectif<=>f injectif<=>f surjectif non?

Posted by: guigui777

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Posté par aviateurpilot

oui toi aussi non?

Posted by: aviateurpilot

oui moi aussi en mathsup.

f bijectif<=>f injectif<=>f surjectif. est vrai si $f:E\to F,\ et\ dim(E)=dim(F)$

Posted by: guigui777

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Posté par aviateurpilot

oui moi aussi en mathsup.

f bijectif<=>f injectif<=>f surjectif. est vrai si $f:E\to F,\ et\ dim(E)=dim(F)$

ok, ca va tu dois pas mal te balader non?

Posted by: aviateurpilot

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Posté par guigui777

ok, ca va tu dois pas mal te balader non?

qu'es ce que tu veux dire par "balader",

dsl mai je ne suis pas tres fort en francais

Posted by: Rain'

Il veut dire qu'avec ton niveau, ça doit pas être très difficile de suivre les cours en maths sup pour toi.

Posted by: guigui777

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Posté par aviateurpilot

qu'es ce que tu veux dire par "balader",

dsl mai je ne suis pas tres fort en francais

C'est à dire que ca n'a pas l'air très difficille pour toi tout ca!
Tu es en sup en france, mais tu vivais au maroc avant?

Posted by: guigui777

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Posté par Rain'

Il veut dire qu'avec ton niveau, ça doit pas être très difficile de suivre les cours en maths sup pour toi.

lol! et toi rain tu fais quoi?

Posted by: Rain'

Moi je suis en spé et j'espère plus pour très longtemps.

Posted by: guigui777

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Posté par Rain'

Moi je suis en spé et j'espère plus pour très longtemps.

C'est sur mais toi aussi t'as l'air d'avoir un bon niveau! ca prouve que j'ai encore bcp de travail a fournir!!

Posted by: aviateurpilot

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Posté par Rain'

Il veut dire qu'avec ton niveau, ça doit pas être très difficile de suivre les cours en maths sup pour toi.

lol, j'aime pas le cours de mathsup,
c'est pour cela que j'ai meme quelque probleme avec mon prof car je n'ecris pas le cours,mais ,il m'aime comme meme hhh.

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Posté par guigui777

C'est à dire que ca n'a pas l'air très difficille pour toi tout ca!
Tu es en sup en france, mais tu vivais au maroc avant?

je vis et j'etudie mathsup au maroc.

Posted by: guigui777

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Posté par aviateurpilot

lol, j'aime pas le cours de mathsup,
c'est pour cela que j'ai meme quelque probleme avec mon prof car je n'ecris pas le cours,mais ,il m'aime comme meme hhh.

je vis et j'etudie mathsup au maroc.

ah j'savais pas que ca existait là bas aussi! c'est cool! dans ma classe les meilleurs sont des étrangés qui viennent car justement y'a pas de sup chez eux

Posted by: aviateurpilot

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Posté par guigui777

ah j'savais pas que ca existait là bas aussi! c'est cool! dans ma classe les meilleurs sont des étrangés qui viennent car justement y'a pas de sup chez eux

j'etudie mathsup a l'ecole royal de l'air au maroc.
je voulais bien etudier apres mes 2 ans en prepa dans une grande ecole en france, mais mon ecole ne va pas me laisser "lol"

Posted by: guigui777

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Posté par aviateurpilot

j'etudie mathsup a l'ecole royal de l'air au maroc.
je voulais bien etudier apres mes 2 ans en prepa dans une grande ecole en france, mais mon ecole ne va pas me laisser "lol"

j'pense j'auraiss fait pareil à leur place!! bon allé jv retourné au boulot j'ai pas mal de trucs qui m'attendent!! a+ et merci de ton aide!

Posted by: aviateurpilot

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Posté par guigui777

j'pense j'auraiss fait pareil à leur place!! bon allé jv retourné au boulot j'ai pas mal de trucs qui m'attendent!! a+ et merci de ton aide!

ok, bon chance guigui777