Matrices niveau Terminale C

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GeorgeB
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Matrices niveau Terminale C

par GeorgeB » 14 Sep 2010, 19:05

Bonjour, dans de vieux bouquins j'ai trouvé un exercice sur les matrices très dur et je ne trouve pas de solution.

On se donne une matrice carré A de dimension n et on me demande de trouver TOUTES les matrices carrées M de dimension n telles que AM=MA

Pour l'instant j'ai toutes les matrices de la forme kA mais je suis sûr qu'il y en a d'autres !

Aidez moi s'il vous plait :we:



Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 14 Sep 2010, 19:09

Bonjour,

Y'a aussi :DD

On a pas plus d'infos sur la matrice A ? :s

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Sep 2010, 19:12

Salut !

Au pire, teste pour n=2,3,4 puis vois si tu peux dresser une conjecture que tu démontrera par récurrence.

GeorgeB
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par GeorgeB » 14 Sep 2010, 19:13

Ah excuse moi, c'est :

Trouver l'ensemble des matrices M telles que pour toutes matrices N NM=MN

Evidemment M et N sont carrées de dimension n.

C'est plus facile comme ça ?
Merci,

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 14 Sep 2010, 19:17

Okay, c'est différent, on cherche donc toutes les matrices M qui commutent avec n'importe quelle matrice N ... T'as pas une petite idée ?

GeorgeB
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par GeorgeB » 14 Sep 2010, 19:22

Mon intuition c'est que ce sont les k*I_n , ce sont les seules ?

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Sep 2010, 19:23

GeorgeB a écrit:Evidemment M et N sont carrées de dimension n.

C'est dit dans l'énoncé ou il faut le prouver ?

GeorgeB a écrit:Trouver l'ensemble des matrices M telles que pour toutes matrices N NM=MN

Donc les deux matrices M et N sont inconnues ?
Alors je vois pas trop comment procéder :cry:
Néanmoins le sujet m'intéresse :++:

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Sep 2010, 19:24

Arnaud-29-31 a écrit:On cherche donc toutes les matrices M qui commutent avec n'importe quelle matrice N

Peux-tu développer pour mon humble cerveau xD

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 14 Sep 2010, 19:27

On cherche {}

GeorgeB
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par GeorgeB » 14 Sep 2010, 19:29

Bah on se fixe une matrice M ( carrée de dimension n c'est dnas l'énoncé) et on cherche toutes les matrices N telles que MN=NM , donc N est inconnue mais on s'en fout (enfin je crois) et seulement les M nous intéresse.

Par la suite il y a une autre question :

Trouver la forme générale des matrices M telles que AM=MA avec A=(3;-1 // 7;1)

Indication : Elles sont de la forme aB+bB' avec B et B' des matrices a trouver !

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 14 Sep 2010, 19:45

Ce que tu viens de dire contredit ce qui a été dit précédemment ...

C'est :

Quelque soit N, trouvez toutes les matrices M telles que MN = NM

ou bien

Trouvez toutes les matrices M telles que quelque soit N, MN = NM

??
Je sais pas si tu vois une nuance ...

benekire2
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par benekire2 » 14 Sep 2010, 19:47

Salut,

Mes connaissances sur les matrices sont très limités, mais je crois que c'est pas hyper dur :

Pour ta première question il semblerait qu'une identification dans tes deux produits soit suffisante.

Pour le deuxième tu prend M=(a,b/c,d) tu fais les deux produits et tu les rend égaux et tu trouve que ce sont toutes les matrices (a,b/-7b,2b+a) et tu voit clairement que M=k(1,0/0,1)+k'(0,1/-7,2) et le tour est joué jolly jumper !!

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Sep 2010, 19:48

Oui, il y a une nuance je trouve, je trovue ça bizarre.

@Arnaud : que veut dire

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 14 Sep 2010, 19:50

C'est comme ca que l'on note l'ensemble des matrice carrées d'ordre n à coefficient dans \mathbb{K}

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 14 Sep 2010, 19:51

C'est comme ca que l'on note l'ensemble des matrice carrées d'ordre n à coefficients dans

benekire2
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par benekire2 » 14 Sep 2010, 19:52

Dinozzo13 a écrit:Oui, il y a une nuance je trouve, je trovue ça bizarre.

@Arnaud : que veut dire


Bah la nuance c'est que dans le premier cas on cherche les matrices qui commutent avec une en particulier, alors que dans le deuxième cas on cherche celles qui commutent avec toutes les autres.

Je pense que c'est le deuxième cas qui est envisagé ici ...

 

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