Etant encore peu familier avec les matrices, je bloque sur un certain point de cet exercice :
Soit la base canonique de , et f une application linéaire (de dans lui même), de matrice:
A=n(f,B)=
(2 -2 1)
(2 -3 2)
(-1 2 0)
On m'a demandé de montrer qu'elle est inversible, ce qui est déjà fait.
Puis on me demande de montrer que E= {v de IR^3, tel que f(v)=v} est un EV de dimension 2 puis de donner une base {v1,v2} de E.
J'ai posé l'égalité matricielle A v = v pour avoir un système (en fait 3 équations qui découlent l'une de l'autre :
x-2y+z=0 , et 2x-4y+2z=0, et -x+2y-z=0.
J'aimerais bien pouvoir montrer qu'il est engendré par une famille libre de deux éléments, ce qui me permettrait de répondre aux deux questions à la fois, mais je bloque là dessus =x.
Une indication svp ? Merci de votre aide.
Posted by: nonam
je pense que le plus simple serait de dire que c'est le noyau d'un forme linéaire non nulle de dans (à toi de trouver la forme en question, mais c'est à peu près évident avec ce que tu as trouvé), donc un espace de dim. 2. Il te reste ensuite à exhiber deux vecteurs libres pour avoir une base.
Posted by: Hyp
Serait ce f - id (E) ?
f est déjà linéaire, et autant pour l'identité, et donc E serait son noyau.
C'est bien ça ?
Posted by: nonam
non, f-id(E) n'est pas une forme... (mais c'est bien pensé quand même).
Je pensais à (x,y,z) --> x-2y+z
Le soucis avec f-id, c'est qu'on ne peut pas conclure directement sur la dim de son noyau.
Posted by: Hyp
Je suis d'accord, mais on doit quand même montrer qu'elle est linéaire non ?
Posted by: nonam
oui, il faudrait le montrer.
si tu trouves ça trop long tu peux toujours passer par f-id. c'est comme tu le sens.
Posted by: Hyp
Merci bien nonam.
Je pourrais me débrouiller avec cette méthode, toutefois je suis obligé de maitriser la méthode du sev engendré car la question suivante me l'impose (la même pour F= {v de IR^3, f(v)= -3v}, de dim 1.. )
Posted by: abcd22
Bonsoir,
Tu as commencé à résoudre un système d'équations, termine la résolution comme tu as dû l'apprendre sans t'occuper de matrices et tu verras que les solutions s'écrivent comme combinaison linéaire de deux vecteurs...
Posted by: Hyp
Bonsoir,
Le problème c'est que mon système est composé de trois équations identiques, à coefficient près, donc je ne peux pas en tirer grand chose..
Posted by: abcd22
Ben si, les solutions utiliseront deux paramètres, pile ce qu'on veut, vous avez bien dû voir la résolution de systèmes d'équations linéaires qui n'ont pas une solution unique ?
Posted by: Hyp
Oui bien sûr, et c'est bon j'ai trouvé, merci pour tout :)
la base canonique de 
, et f une application linéaire (de 
dans 
(à toi de trouver la forme en question, mais c'est à peu près évident avec ce que tu as trouvé), donc un espace de dim. 2. Il te reste ensuite à exhiber deux vecteurs libres pour avoir une base.