Matrices et changement de base.

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Posted by: Hipollene

Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer comment on trouve une matrice de passage ?
Ainsi que les règles du changement de base ?
J'ai eu une colle là dessus et je n'ai rien compris...

Merci par avance et à bientôt !


Posted by: emdro

Bonjour,

considérons simplement dans le plan (i,j) les vecteurs
u(2,1) et v(3,2).

1ère question:
Que veut dire que M a pour coordonnées (x,y) dans la base (i,j)?
Que veut dire que M a pour coordonnées (X,Y) dans la base (u,v)?

2ème question:
Peux-tu exprimer le lien entre X,Y et x,y?


Posted by: Hipollene

Citation:
Posté par emdro
Bonjour,

considérons simplement dans le plan (i,j) les vecteurs
u(2,1) et v(3,2).

1ère question:
Que veut dire que M a pour coordonnées (x,y) dans la base (i,j)?
Que veut dire que M a pour coordonnées (X,Y) dans la base (u,v)?

2ème question:
Peux-tu exprimer le lien entre X,Y et x,y?


1ère question :
Dire que M a pour coordonnées (x,y) dans la base (i,j), cela signifie que M est une matrice unicolonne dans (i,j) -enfin je pense !?-
On peut écrire que M = xi + yj et M = Xu + Yv.

2ème question :
(X,Y) = A (x,y) avec A la matrice de passage.


Posted by: Hipollene

Excusez-moi, mais vous m'avez posé des questions auxquelles j'ai répondu (surement d'un mauvaise manière)... et j'aimerais savoir si c'est bon... et surtout comment on fait !?

Merci d'avance


Posted by: *Matt*

Citation:
Posté par Hipollene
Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer comment on trouve une matrice de passage ?
Ainsi que les règles du changement de base ?
J'ai eu une colle là dessus et je n'ai rien compris...

Merci par avance et à bientôt !


On trouve une matrice de passage d'une base (e_i)_{1}^{n} à une base (f_j)_{1}^{n} en écrivant f_{j} = /sum_{i=1}^{n}{a{i,j}e_{i}}. La matrice P = (a_{i,j})_{i,j} est inversible, et est appelée matrice de passage de (e_i)_{1}^{n} à (f_j)_{1}^{n}.

Maintenant, si E et F sont des e v de dimensions respectives n et p, si B et B' sont deux bases de E, si C et C' sont deux bases de F, si f est une application linéaire de E dans F.
Si A est la matrice de f par rapport aux bases B et C, si P est la matrice de passage de B à B', si Q est la matrice de passage de C à C', alors la matrice A' de f par rapport aux bases B' et C' est donnée par la formule

A' = Q^{-1}AP


Posted by: fatal_error

Bonjour,

Vi ce que tu as dis c'est bon.
Pour la matrice de passage.
Prenons ta base de départ, B.
mettons c'est la base canonique de R^3.

Supposons que tu cherches une nouvelle base beta formée des vecteurs e1,e2,e3.
tu exprimes e1 en fonction de la base de R3, e2 pareil et e3 toujours.

Supposons donc que ta base beta est formée des vecteurs e1,e2,e3 suivant :
e1=x+y+z;
e2=x-y-z;
e3=0+0+z;
(pe i sont liés j'ai pas fait attention, mais supposons qu'ils sont libres!)

Pour avoir ta matrice de passage tu as :
Y=AX
avec Y ta matrice dans la base Beta, X ta matrice dans la base B, et A ta matrice de passage de B a beta formée par les vecteurs colonnes e1,e2,e3.
110
1-10
1-1z










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