Mathématiques - Matrice !!

Matrice !!
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Posted by: Chimboy

Bonsoir tout le monde !
J'ai moi aussi mon petit problème avec un exercice !
Le voici :

Soient $a_0, a_1, ..., a_n$ des nombres réels.
Considerons la matrice

M= $ \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0} \\ \end{pmatrix} $

Le but de cet exercice est de calculer le déterminant de M.
Soit $\epsilon = e^{\frac{2i\pi}{n}}$

Soit E = $(e_ij)_{1\leq ij\leq n}$ la matrice définie par $e_{ij}=\epsilon^{(i-1)(j-1)}$
On pose P(X)= $\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}$

a) Montrer que pour tout $K\in$ {0,1,...,n-1} et tout $i\in N$ on a

$a_{k}+a_{k+1}\epsilon^{i}+a_{k+2}\epsilon^{2i}+... +a_{n-1}\epsilon^{(n-1-k)i}+a_{0}\epsilon^{(n-k)i}+a_{1}\epsilon^{(n-k+1)i}+...+a_{k-1}\epsilon^{(n-1)i}=\epsilon^{(n-k)i}P(\epsilon^{i})$

b)Calculer ME de façon élégante en utilisant le polynome P (pas besoin de justifications...)

c)Montrer que le calcul de det(ME) se ramène par des opérations simples au calcul de det E.

d)En déduire que det M sous forme d'un produit des valeurs de P.

Posted by: Chimboy

Merci d'avance pour votre aide !

Posted by: yos

a) factorise le premier membre par epsilon^(n-k)i. Utilise le fait que
epsilon^n= 1 pour faire apparaitre P(epsilon^i).

b) Déf du produit de 2 matrices : le calcul de la question a) donne le terme de la matrice ME ligne n-k+1 modulo n, colonne i+1 modulo n.

c)factorise le déterminant de ME par le produit des P(epsilon^i) ( dans la colonne i+1 , tu as P(epsilon^i) en facteur de chaque terme.

d)det(ME)=det(M)det(E) et det(E) est un Vandermonde. On en déduit la valeur de det(M).

J'espère que mes indices sont corrects. Bon courage

Posted by: ras

je n'ai pas lu entierement ton exo
mais normalement cela se fait avec la matrice circulante, J
des 0 partout sauf sur la sur-diagonale
alors ta matrice vaut sigma( ai*J^i)

je voulais demander qqch
est ce que qqn peut m'indiquer ou se trouve le site lesmaths.net
MERCI