Matrice stochastique

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Posted by: yos

Bonjour. Voilà un joli exercice d'algèbre linéaire.
On appelle matrice stochastique d'ordre n, une matrice M telle que(On dit stochastique strict si les m_{ij} sont >0.)
On note S l'ensemble des matrices stochastiques d'ordre n.

Soit donc M\in S
  1. Démontrer que S est fermé pour la multiplication.
  2. Démontrer que det M\leq 1.
  3. Démontrer que 1 est vp de M.
  4. Démontrer que si \lambda est une vp complexe de M, alors |\lambda|\leq 1.
  5. Soit \lambda une vp de module 1. Démontrer que \lambda est une racine de l'unité.

PS . Je sais pas faire la dernière question sauf pour une stochastique stricte.
Pour la question 2, ne pas tricher en utilisant la question 4.


Posted by: mehdi-128

Bonjour, http://perso.orange.fr/gilles.costa...rs/matstoch.pdf


Posted by: Daniel-Jackson

Très bon exo , je m erappelle à l'oral pour montrer la stabilité par produit , je m'étais lancé dans des calculs un peu barbares qui donent le résultat mais il suffisait de remarquer qu'une matrice ("positive" ) est stochastique si et seulement si le vecteur 1 = ( 1,...,1) est vecteur propre. Après c'est assez technique . Bref c'est exactement ce qui est fait dans le lien que mehdi-128 a donné là .


Posted by: yos

En voilà des façons Mehdi! Et ceux qui ont envie de chercher alors?
A noter que
1) la question que je sais pas faire est pas évoquée sur ton lien.
2) les autres y sont résolues de manière bien poussives.


Posted by: mehdi-128

désolé ,mais toute aide n'est-elle pas la bien venue? :)


Posted by: yos

Citation:
Posté par Daniel-Jackson
Très bon exo , je m erappelle à l'oral pour montrer la stabilité par produit , je m'étais lancé dans des calculs un peu barbares qui donent le résultat mais il suffisait de remarquer qu'une matrice ("positive" ) est stochastique si et seulement si le vecteur 1 = ( 1,...,1) est vecteur propre. Après c'est assez technique . Bref c'est exactement ce qui est fait dans le lien que mehdi-128 a donné là .

Euh non ils le font de manière directe il me semble. Mais c'est vrai qu'on pourrait inverser les questions.


Posted by: yos

Citation:
Posté par mehdi-128
désolé ,mais toute aide n'est-elle pas la bien venue? :)

Si! je ralais par principe (comme Gavrilo hum!)


Posted by: fahr451

tous ces résultats sont intéressants et classiques dans l 'étude des chaines de markov élémentaires


Posted by: mehdi-128

Ok :) ......


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par yos
Euh non ils le font de manière directe il me semble. Mais c'est vrai qu'on pourrait inverser les questions.

Non je parlais des question d'après ... pas de la stabilité ;)


Posted by: yos

Citation:
Posté par Daniel-Jackson
Non je parlais des question d'après ... pas de la stabilité ;)

Ah OK
Dans le lien de Mehdi-2^7 (propriété 4), on parle de vp dominante. Savez-vous ce que c'est.
Cette propriété 4 me donne une idée pour finir l'exercice (peut-être).


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par yos
Ah OK
Dans le lien de Mehdi-2^7 (propriété 4), on parle de vp dominante. Savez-vous ce que c'est.
Cette propriété 4 me donne une idée pour finir l'exercice (peut-être).



A mon avis valeur propre dominante c'est la plus grande en module ...sans doute strictement plus grande , mais je suis pas sûr
Je réfléchis et j'esaie de faire la question recalcitrante , j'ai fait cet exo y'a un bon bout de temps je vais m'y mettre là :)


Posted by: Joker62

Hello :)
Sympa cet exo, et en plus il a l'air courant, donc bon autant s'y intéresser en plus m'ennui :)
Donc j'ai déjà fait la 1)

Soit http://www.maths-forum.com/images/l...d74a472aa31.gif deux matrices stochastiques de dimension n
Montrons que http://www.maths-forum.com/images/l...c64704ab518.gif

i) On a clairement que tous les éléments de C sont positifs ou nul étant donné que c'est la somme de terme positifs.

ii) On a http://www.maths-forum.com/images/l...85e4ce79cb4.gif
Posons http://www.maths-forum.com/images/l...6588df1e229.gif les lignes de C.

Vérifions que http://www.maths-forum.com/images/l...88576d2e57f.gif
http://www.maths-forum.com/images/l...523db32c331.gif

Donc S est fermé par multiplication :)
Edit : j'viens de regardé la solution, pi j'ai même pas triché.


Posted by: yos

Citation:
Posté par Joker62

Ces L_i que tu additionnes c'est bizarre. Tu t'es emmelé dans les indices , mais c'est un détail. Après c'est tout bon.


Posted by: Joker62

Oui j'voulais dire Li désigne la ligne i et ensuite sommer sur j les Lij :)
J'continue la suite c'est sympathique :)


Posted by: BiZi

Citation:
Posté par yos
Bonjour. Voilà un joli exercice d'algèbre linéaire.
On appelle matrice stochastique d'ordre n, une matrice M telle que
  • \large\forall i,j,\, m_{ij}\geq 0
  • \large\forall i\sum_j m_{ij}=1
(On dit stochastique strict si les m_{ij} sont >0.)
On note S l'ensemble des matrices stochastiques d'ordre n.

Soit donc M\in S
  1. Démontrer que S est fermé pour la multiplication.
  2. Démontrer que det M\leq 1.
  3. Démontrer que 1 est vp de M.
  4. Démontrer que si \lambda est une vp complexe de M, alors |\lambda|\leq 1.
  5. Soit \lambda une vp de module 1. Démontrer que \lambda est une racine de l'unité.

PS . Je sais pas faire la dernière question sauf pour une stochastique stricte.
Pour la question 2, ne pas tricher en utilisant la question 4.


Euh je crois que ca marche pas si la matrice est seulement stochastique.


Posted by: yos

Citation:
Posté par BiZi
Euh je crois que ca marche pas si la matrice est seulement stochastique.

Ah? C'est pourtant la question dans un exo d'oral de l'X.
Le cas que j'ai appelé stochastique strict est pas intéressant car je ne trouve que 1 et -1 comme vp de module 1 (sauf erreur de raisonnement).


Posted by: fahr451

la question 4 est évidente et donne la 2 de façon immédiate j'appelle pas ça tricher mais être astucieux

la 5 est dure
soit a vp de module 1 a différente de 1 et X un vecteur propre complexe associé

MX = a X

en prenant yi réalisant ll Xll inf on en déduit

sigma mij xj = a xi puis en passant au module

l xi l =< sigma mij l xjl =< sigma mij l xi l = l xil
donc égalité dans l 'inégalité triangulaire les complexes mij xi sont sur une demi droite engendrée par un z

pour tout j : mij xj = ai z avec ai positif puis on voit que

pour j et k vérifiant mij et mik non nuls on a xj = xk

puis xj = a xi

ce qui impose mii = 0
on pose j(0) = i
on prend un indice j(1) avec mij(0) non nul on a

y(j(1)) = a y(j(0)) et puisque l y(j(1) l = l y(j0)l
on recommence avec j(1) au lieu de j(0) on trouve j(2) tel que
y(j(2)) = ay(j(1)) etc
on conclut avec les chaussettes dirichleiennes

il existe j(k) et j(k+p) égaux p>0

y(j(k+p)) = a^p y(j(p)) soit a^p = 1


Posted by: yos

Merci Fahr pour cette réponse.
Ma remarque sur la question 2 tient au fait qu'on peut faire ça par récurrence dés qu'on connait la notion de déterminant. C'est facile en élargissant l'hypothèse de la façon suivante : \sum_jm_{ij}\leq 1 (je trouve que c'est pas évident d'y penser).

Pour la question 5, j'avais commencé pareil et c'est pourquoi je trouvais le résultat si je supposais que les m_{ij} sont tous non nuls. Je vois en gros la suite de ce que tu as fait à un ou deux détails près qu'il faudra que j'écrive.

Sais-tu si avec n=3 on a des exemples où les vp sont 1,i,-i ou 1,j,-j par exemple ?


Posted by: yos

En fait une matrice de permutation convient.


Posted by: manelle

Bravo , Fahr , pour cette dernière question , je l'avais déjà vue dans un vieux problème de l'ENS ou de capes , et je me souviens que la résolution était très fine ...
Est-ce que l'un de vous connaît un site où on peut retrouver des problèmes en demandant juste un thème ?










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