matrice et récurrence

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Posted by: log86

Bonjour j'ai un problème dans un exercice, pourriez vous m'aider s'il vous plait
On me donne la matrice

\Large M=\( \array{-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1}\)

et je dois montrer que M^n s'écrit sous la forme
\( \array{an&bn&bn\\bn&an&bn\\bn&bn&an}\)

donc çà j'ai réussi par récurrence
mais ensuite on me demande d'exprimer an et bn en fonction de n
alors j'ai trouvé que bn+1=an
mais pour an je fais des calculs, je m'embrouille un peu, mais je ne trouve rien de récurrent..
auriez vous une idée s'il vous plait? merci


Posted by: hamdo

Ecrire aussi a_{n+1} en fonction de a_{n} et b_{n}


Posted by: neuneu

Bonjour comme tu sais que bn+1=an , comme dis hamdo exprime an+1 en fonction de an et bn; tu dois avoir trouvé une relation en faisant ta récurrence
tu dois surement te retrouver avec une équation de la forme
an+1 = x*an + y*bn ( toi tu dois avoir des valeurs à la place de x et y mais j'ai pas fait les calculs...)
mais bn=an-1
donc an+1=x*an+y*an-1 ou si tu préfères an+2=x*an+1+y*an
c'est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 que je pense que tu sais résoudre


Posted by: Lierre Aeripz

En fait, il n'y a pas besoin de récurrence.

On pose
\Large A=\( \array{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}\)

On a alors M = A - 2I.
A^2 = 3A. Donc A^k = 3A^{k-1} = 3^{k-1}A.

Or I et A commutent, donc M^n = \sum_{k=0}^n C_{n}^k A^k (-2)^{n-k} I^{n-k}.
Ce qui donne M^n = (-2)^n I + \( \sum_{k=1}^n C_{n}^k 3^{k-1} (-2)^{n-k} \) A
On calcule \sum_{k=1}^n C_{n}^k 3^{k-1} (-2)^{n-k} = \frac{1}{3} \( (3-2)^n - (-2)^n \) .
Donc M^n = (-2)^n I + \frac{1 - (-2)^n}{3} A.

Bon... J'admets que ce n'est pas tellement plus simple qu'une récurrence.


Posted by: log86

Bonjour désolé je n'ai pas pu revenir avant
merci à tous
j'ai compris la méthode de Lierre Aeripz et de neuneu merci
bonne journée










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