Comment faire pour montrer qu'une matrice A est définie positive?
On ne connait pas A, on sait jusque c'est une matrice. Et on a le
produit scalaire <As,s> avec s appartenant à R^n.
Dans mon cours, il est écrit que que montrer que A est définie positive
équivaut à montrer que s'As >= 0
et que s'As = 0 => s=0
avec s' la transposée de s.
Je ne comprends pas cette démo.
Nono
Posted by: Nicolas Le Roux
On Wed, 17 Nov 2004 23:55:48 +0100, Nono wrote:
> Salut,
>
> Comment faire pour montrer qu'une matrice A est définie positive?
> On ne connait pas A, on sait jusque c'est une matrice. Et on a le
> produit scalaire <As,s> avec s appartenant à R^n.
>
> Dans mon cours, il est écrit que que montrer que A est définie positive
> équivaut à montrer que s'As >= 0
> et que s'As = 0 => s=0
> avec s' la transposée de s.
Le produit scalaire d'un vecteur u avec un vecteur v est egal a u'v,
donc s'As est egal a <s,As> (avec ta notation du produit scalaire).
--
Nicolas
Posted by: Hibernatus
"Nono" <arnaud@spam.org> a écrit dans le message de news:
419bd7fb$0$5184$636a15ce@news.free.fr...
> Salut,
>
> Comment faire pour montrer qu'une matrice A est définie positive?
> On ne connait pas A, on sait jusque c'est une matrice. Et on a le
> produit scalaire <As,s> avec s appartenant à R^n.
>
> Dans mon cours, il est écrit que que montrer que A est définie positive
> équivaut à montrer que s'As >= 0
> et que s'As = 0 => s=0
> avec s' la transposée de s.
>
> Je ne comprends pas cette démo.
Quelle est *ta* définition de "matrice définie positive" ?
En termes de valeurs propres ?
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 18 Nov 2004 14:53:08 +0100, Hibernatus wrote:
> Quelle est *ta* définition de "matrice définie positive" ?
>
> En termes de valeurs propres ?
D'ailleurs, je viens d'avoir une discussion avec un ami. Est-il vrai que
par matrice définie positive, on entend souvent "matrice symétrique
définie positive" ? Parce que sinon, rien ne dit qu'elle possède des
valeurs propres (dans R tout du moins).
--
Nicolas
Posted by: Hibernatus
"Nicolas Le Roux" <nicolas@bisounours.net> a écrit dans le message de news: slrncppbqe.u73.nicolas@lknn.iro.umontreal.ca...
>
> On Thu, 18 Nov 2004 14:53:08 +0100, Hibernatus wrote:
>
> > Quelle est *ta* définition de "matrice définie positive" ?
> >
> > En termes de valeurs propres ?
>
> D'ailleurs, je viens d'avoir une discussion avec un ami. Est-il vrai que
> par matrice définie positive, on entend souvent "matrice symétrique
> définie positive" ? Parce que sinon, rien ne dit qu'elle possède des
> valeurs propres (dans R tout du moins).
Mathworld : A définie positive : x'Ax > 0 <=> x =/= 0
Une matrice est d.p. ssi sa "partie symétrique" = 1/2(A + A') est d.p.
"Confusingly, the discussion of positive definite matrices is often
restricted to only Hermitian matrices, or symmetric matrices in the case of
real matrices (Pease 1965, Johnson 1970, Marcus and Minc 1988, p. 182;
Marcus and Minc 1992, p. 69; Golub and Van Loan 1996, p. 140). A Hermitian
(or symmetric) matrix is positive definite iff all its eigenvalues are
positive." (http://mathworld.wolfram.com/Positi...niteMatrix.html)
C'est probablement la définition qu'à eue nono : symétrique à v.p. >0.