matrice et permutations

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: MacManus

bonsoir

On considère la permutation de S_5 suivante : \sigma = (135)(24) et A la matrice de permutation associée :
A = \large \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Je dois déterminer une matrice inversible P telle que P^{-1}AP soit une matrice diagonale par blocs de taille 2 et 3. (remarques : on ne me demande pas de calculer le polynôme caractéristique de A. J'ai au préalable calculer l'inverse de A à l'aide de la permutation...).

Seulement je ne vois pas comment déterminer P....
J'aimerais avoir quelques indications, merci !


Posted by: Clembou

Citation:
Posté par MacManus
bonsoir

On considère la permutation de S_5 suivante : \sigma = (135)(24) et A la matrice de permutation associée :
A = \large \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Je dois déterminer une matrice inversible P telle que P^{-1}AP soit une matrice diagonale par blocs de taille 2 et 3. (remarques : on ne me demande pas de calculer le polynôme caractéristique de A. J'ai au préalable calculer l'inverse de A à l'aide de la permutation...).

Seulement je ne vois pas comment déterminer P....
J'aimerais avoir quelques indications, merci !


Il faut passer par le polynôme caractéristique et trouver les valeurs et vecteurs propres de la matrice A.


Posted by: MacManus

Le problème c'est qu'on ne me demande pas de calculer le polynôme caractéristique de A à ce stade. Dans mon exercice, son calcul intervient plus tard dans une autre question. Il est vrai que son calcul permet de trouver valeurs propres et vecteurs propres, mais ici apparemment on attend autre chose... et à vrai dire je suis un peu bloqué... je te remercie pour ta réponse en tout cas... en attendant peut-être d'autres suggestions. Merci.


Posted by: busard_des_roseaux

hey,


tu as manifestement un homomorphisme , on l'appelle \phi, entre (les permutations de) S^5 et un sous-groupe de GL(\mathbb{Z})
de déterminant +1 ou -1.

Soit \sigma une permutation. A est la matrice d'un automorphisme f , donné dans la base canonique, par f(e_{i})=e_{\sigma(i)}

\sigma étant bijective,f(e_{\sigma^{-1}(j)})=e_{j}
ça a l'air de définir un morphisme de groupes, car f^{-1} correspond à \sigma^{-1}



C'est pratique, il y a juste à transporter les multiplications.
Et les permutations impaires donne des matrices de changement d'orientation. Il y a un autre morphisme,que l'on pourrait qualifier de résiduel:

effet, à coup sûr, \epsilon(\sigma)= \det(A) = \det(\phi(\sigma))

\epsilon(\sigma \sigma')= \det(\phi(\sigma \sigma')))=\det(\phi(\sigma) \phi(\sigma'))=\det(\phi(\sigma))\det(\phi(\sigma' ))

Le noyau est le groupe alterné des permutations paires.

Donc finalement, on va trouver des tas de matrices intéressantes, juste en étudiant le groupe des permutations (cycles,transpositions,3-cycles,
les transpositions engendrent S_n, les 3-cycles engendrent A_n,sous-groupes distingués,etc..), on peut transporter tout ceci par \phi dans notre groupe de matrices.




je me demande aussi si tu ne peux pas construire un exercice similaire (un autre exercice) , en généralisant,en remplaçant +1 et -1 par les n racines complexes de l'unité, le groupe
\displaystyle U=\{ e^{ik \frac{2 \pi}{n}} , k modulo n \}

et en écrivant des matrices qui ont juste un élément du groupe U sur chaque ligne et chaque colonne, ça doit marcher.

parce que, en faisant des produit ligne par colonne, on va rester dans le groupe U.


ici, on est dans un cas particulier des racines carrées de l'unité, c'est à dire
U= \{ -1;1 \},

voire par un caractère \chi sur quoi ?, c'est à dire n'importe quel (auto)morphisme d'anneau, de koi dans koi ?, verifiant \chi(nn')=\chi(n)\chi(n') avec un seul terme \chi(n) par ligne et par colonne de matrice.

Pour conclure, comme n'importe quel groupe fini se réalise comme un sous-groupe d'un groupe de permutations , ça fait cogiter ...


Posted by: MacManus

Dis-donc busard_des_roseaux tu es fort sympatique ! comment être aussi lucide à une telle heure ?

Tu m'a remis en mémoire plusieurs choses c'est très apréciable!

Oui l'homomorphisme \phi que tu décris semble être intéressant pour U le groupe multiplicatif des n racines complexes de l'unité. Mais si en effet dans notre cas il s'agit des racines carrées de l'unité, comment généraliser pour l'ensemble de ce groupe U ?

Le lien qui existe entre la permutation \sigma et la matrice A, comme tu l'as dit, est f(e_i)=e_{\sigma(i)}, si l'on interprète A comme étant la matrice de l'automorphisme f de R^5. Cependant cette matrice A associée au groupe des permutations de S_5 est définie par le terme d'indice a(i,j) = \delta_{i,\sigma(j)} (symbole de Kronecker)...Je veux dire que la notation matricielle impose elle-même le fait que l'on obtienne une matrice composée de 1 et/ou de -1. C'est peut-être idiot mais je m'en réfère purement et simplement à la définition d'une matrice de permutations... comment obtenir d'autres éléments (racines) du groupe U ??

PS : et au fait, qu'en est-il de ma matrice P inversible ???

Bon... l'exercice devient bien plus intéressant ! toute explication est la bienvenue


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par MacManus
PS : et au fait, qu'en est-il de ma matrice P inversible ???


As tu fait le lien entre A et \sigma ?
et essaye de remonter P (inconnue) et la matrice diagonale par bloc dans S_5. Que reste-t-il a faire ?

A quoi va correspondre une matrice diagonale par blocs dans S_5 ? à un produit de .....................


Posted by: MacManus

Supposons un cycle c de longueur n. Si A = A_c, alors A^n = I (où I est la matrice identité). Donc A^n-I = 0, cad que X^n-1 est un polynôme annulateur de A. Celà revient effectivement à chercher les n racines de l'unité.

Une matrice diagonale par blocs va correspondre alors à un produits...de cycles à supports disjoints dans S5 ? et il est plus commode ensuite pour calculer les puissances de A qui seront les puissances de \sigma....

D = P^{-1}AP mais je ne vois pas comment remonter sans connaître D et P...


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par MacManus
Une matrice diagonale par blocs va correspondre alors à un produits...de cycles à supports disjoints dans S5 ? et il est plus commode ensuite pour calculer les puissances de A qui seront les images par \phides puissances de \sigma....

vi.


Il suffit de "remonter" le produit P^{-1}AP dans S_5.
Transforme la question posée en question relative à \sigma=(135)(24) et S_5


Posted by: MacManus

merci busard_des_roseaux.

Ma matrice de passage est alors définie par P = \large \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

P est une matrice orthogonale, on a donc : P^{-1} = P^T ou P^T est la transposée de P. D = P^{-1}AP = \large \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

ca me semble correct puisque D est diagonale par blocs de taile 2 et 3.










-