bonsoir
j'ai un petit probleme avec ce qui suit
soit A une matrice carrée d'ordre n a coefficients dans un corps commutatif K
je dois montrer l'equivalence entre :
-A est nilpotente
-tr(A^k)=0
pour A nilpotente implique tr(A^k)= 0
j'ai trouvai deux solutions ;quelle est la meilleur ??:
- A est nilpotente implique que A^k est nilpotente donc les seules valeurs propres sont nulles donc tr(A^k)=0
_ A=P T P^-1 (T triangulaire) ayant des zero sur la diagonale donc trA = 0
et A^k =P T^k P^-1 implique tr(A^k)=0
mais pour l'autre sens je sais pas trop par ou commencer
merci pour votre aide
Posted by: Rain'
Pour la réciproque il faut trigonaliser A dans C (même si K=R)
Ecrire à quoi correspond le système d'équation tr(A) = Tr(A²) =...= Tr(A^n) = 0
Faire apparaître une matrice de Vandermonde dont les arguments sont distincts.
en déduire que A n'a qu'une vp qui est nulle car sa trace est nulle donc est nilpotente.
Posted by: nemesis
ok je vois
merci encore
Posted by: fahr451
bonsoir
oui c'est ce que dit rain
modulo le fait qu 'il faille sans doute raisonner par l'absurde en supposant que A a des valeurs propres non nulles distinctes de multiplicité n1,...,nr >0 le système est alors un van der monde d'inconnues n1,...,nr de cramer d'unique solution 0,...,0
c'est absurde