Matrice inverse

[Nicolas59]

Bonjour, je suis en première année de licence de math.
Ma question porte sur l'algèbre linéaire et particulièrement le cas d'une matrice qu'on peut inverser.

On a l'hypothèse que: " AX= Y a une unique solution " est équivalent à " la matrice A est inversible."

Dans le programme de première année en algèbre linéaire: seules les matrices carrées sont inversibles , je crois.

Dans le bouquin Algèbre 1ère année (le liret-martinais).
Il y a un exemple curieux, une matrice M4,3 (R) associée une matrice X (M3,1(R)) égal une matrice y ( M4,1 (R)) constitué de lettres.
En gros , on doit résoudre AX=Y, rien de plus classique.
On trouve une solution, qui est une matrice A' appertenant à M3,4(R).

La deuxième question souligne que le produit AA' =I3.
Mais je me pose la question suivante:

Peut on affirmer que la matrice A' est la matrice inverse de A?

[Nightmare]

Salut !

Non on ne peut pas vraiment parler d'inversibilité pour des matrices non carrées. Une raison simple est qu'une matrice est inversible si le système associé admet une unique solution. Une matrice non carrée fournit un système avec plus de ligne que d'inconnue (ou vice versa) et donc très peu de chance d'y trouver une unique solution.

Autre raison plus "linéaire" est qu'une matrice représente une application linéaire entre deux espaces de dimension respectivement le nombre de ligne et le nombre de colonnes de la matrice. Dire que la matrice est inversible revient à dire que l'application linéaire est un isomorphisme, mais tu te doutes bien que deux ev isomorphes ont la même dimension...

[Nicolas59]

Salut

En fait, la matrice A a 4 équations à 3 inconnues.
Celle ci égal à une matrice à 4 lignes remplie de lettres donne l'équation.
On trouve les 3 inconnues x, y et z et une condition particulière 5a-b-2c=0.

Dans le corrigé, 2 cas sont possibles:

Si la condition particulière est différente de 0 , alors le système n'a pas de solution.
Second cas: on suppose que cette condition soit égale à zero. Alors les solutions sont les x, y et z.

C'est ce dernier cas qui m'interesse.
L'auteur dit bien dans ce cas qu'on trouve une unique solution (x,y et z)
Il formule ses solutions en une matrice A'( appertenant à M3,4 (R)).

Mais c'est surtout l'énoncé de la deuxième question qui me trouble:
" En déduire une matrice A'appartenant à M3,4(R) telle que AA'= I3."

[Ben314]

Le petit problème, c'est que la définition d'inversibilité (dans un cadre trés général et un peu vague...) dit que :
"A est inversible d'inverse A' lorsque AA'=I et A'A=I"
Si on est dans un cadre non commutatif (tient, par exemple celui des matrices), il n'est pas clair du tout qu'une seule des deux égalités suffise.
Dans ton exercice, calcule A'A et regarde ce que tu trouve...

P.S. Aprés, là où il y a une espéce de (petit) miracle, c'est que, si A et A' sont carrées et que AA'=I alors forcément on a aussi A'A=I. Mais ce résultat n'est absolument pas une "évidence" et, dans des contextes un peu différents (dimension infinie), il est totalement faux.

[Nicolas59]

Ca donne bien I3, je mettais trompé dans la commutation...
Merci bien.