Matrice et espaces vectoriels normés

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Posted by: Azuriel

Alors les evn je m'y met mais j'ai beaucoup de mal pour des exo un peu moins classique et là il y en a vraiment un qui me bloque...en esperant que vous puissiez m'aider car je ne sais pas du tout comment faire, voici l'exo :

Montrer que toute matrice de Mn(C) est limite d'une suite de matrices diagonalisables (donc ça veut bien dire montrer que les matrices diagonalisable sont dense dans Mn(C) non ?)
Et ensuite : est ce vrai sur Mn(R).

Alors c'est tout court, mais je sais pas comment faire. Merci d'avance.


Posted by: nuage

Salut,
Dans \mathbb{C}[X]tout polynôme est limite d'une suite de polynômes à racines simple. Il suffit de perturber un peu les coefficients.
Du genre \displaystyle (x-a)^2=\lim_{n \to+\infty} (x-a-\frac1{n})(x-a+\frac1{n}).
Ce qui permet de conclure, avec quelque détails supplémentaires. Du moins je crois.
Pour \mathbb{R} je pense que c'est faux. Mais je peux me tromper. En tout cas je ne vois pas de démonstration simple.


Posted by: ThSQ

Effectivement on reprend l'idée de Nuage : on trigonalise, on modifie les valeurs propres pour les rendre toutes différentes (style \lambda_i + 1/n_i).

C'est forcément faux dans IR sinon on poserait pas la question comme ça ;)


Edit : un contrex ?
A=
(0 -1)
(1 0)

Je vois pas comment X²+1 peut être limite d'une suite de polynomes scindés dans IR.


Posted by: nuage

Citation:
Posté par [B
ThSQ] C'est forcément faux dans IR sinon on poserait pas la question comme ça ;)

C'est effectivement un argument valable.
Je pense que l'on peut essayer un contre exemple avec \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} mais je n'ai rien démontré.
[modif]
je vois que ThSQ a eu la même idée.


Posted by: Azuriel

Ah d'accord. Donc en fait on utilise le fait que tout polynome est limite d'un polynome scindé à racine simple.
Donc tout polynome caracteristique est limite d'un polynome scindé a racine simple donc diagonalisable alors qu'auparavant c'était au max trigonalisable.
Donc en fait an ayant legerement modifier le poly caracteristique cela revient a dire que on a legerement modifier les coefficient pour que ça devienne diagonalisable et en passant a la limite on a donc notre matrice initial ?

C'est cela le raisonnement ?


Posted by: nuage

C'est bien ça.


Posted by: Azuriel

Merci beaucoup pour votre aide !


Posted by: yos

Il faut être un peu plus précis car si tu as P_n\to P, avec P_n à racines simples, tu n'as pas encore les matrices qui vont avec. Il faut affiner l'idée.


Posted by: Azuriel

Bah le determinant est relié au coefficient de P (le poly caracteristique) donc modifier legerement P veut dire qu'il existe bien une modif SUR LES COEF de la matrice tel que on est une matrice diagonale..non ?


Posted by: SimonB

Au niveau matriciel : on commence par trigonaliser (on ne perd rien à la généralité en prouvant le résultat uniquement pour les matrices triangulaires supérieures). Puis, on utilise une condition suffisante de diagonalisibilité (une matrice n*n qui a n valeurs propres distinctes est diagonale). Il suffit de construire comme matrices la matrice obtenue en recopiant tous les coefficients, sauf sur la diagonale, où on change légèrement les termes en leur rajoutant des \frac{truc}{p} pour p\in\mathbb{N}, avec les trucs judicieusement choisis (par exemple en utilisant inf{\lambda_{i}-\lambda{j}, 1\leq i,j\leq n} si les \lambda_{i} sont les valeurs propres.

J'avais bien aimé cet exercice quand je l'avais fait en 3/2, c'est typiquement le genre de choses où on peut faire des preuves "avec les mains" (=où on peut discuter avec son examinateur). Un peu à l'opposé du calcul d'équivalents "simples" centralien... ;)










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