Mathématiques - matrice diagonalisable (bcpst)

matrice diagonalisable (bcpst)
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Posted by: yonyon

Bonjour, j'ai un problème avec la question 2d de cet exo
http://img62.imageshack.us/img62/7177/mat6uz.jpg
En effet, je trouve 1, 0,5 et -0,5 comme valeurs propres de M mais ensuite je trouve que M n'est pas diagonalisable, en effet pour qu'elle le soit il faut qu'il existe une base de R3 formée de vecteurs propres de M, or pour les vecteurs propres de M, voici ce que je trouve:
pour la valeur propre 1 : vect{(0,0,1)}
pour 0,5 : même chose
pour -0,5 vect{(1,-1,0),(0,0,1)}
donc je ne peux pas faire une base de R3 avec des vecteurs propres... J'ai repris mes calculs mais je ne vois pas ce qui ne va pas...
Merci d'avance pour votre aide

Posted by: Quidam

Bonjour,

Tes calculs sont certainement faux. S'il y a trois valeurs propres différentes, il y a trois vecteurs propres formant un système libre ! D'ailleurs, il est impossible que le même vecteur (0,0,1) ait deux valeurs propres différentes !
Je pense qu'il faut refaire tes calculs !!!

Posted by: Tqup3

J'ai calculé le vecteur propre pour lambda=1 et je trouve le vecteur (1;1;-2)
Le vecteur (0;0;1) ne marche pas, tu as dur faire une erreur de calcul.

Posted by: yonyon

Merci pour votre aide, en effet je conçois aisément qu'on ne peut pas avoir
f(x)=x et f(x)=x/2 pour le même X, cependant je ne m'en sors toujours pas, je n'arrive pas à retrouver mon erreur:
$M-kI_3= \left(\begin{array}{ccc} -k & 0,5 & 0 \\ 0,5 & -k & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1-k\\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc} 0,5 & -k & 0 \\ -k & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1-k\\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc} 0,5-2k^2 & 0 & 0 \\ -k & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1-k\\ \end{array}\right)$
Les valeurs propres sont donc 1, 0,5 et -0,5

Ainsi pour k valeur propre, u(x,y,z) appartient à E_k ssi:
-kx+y/2=x/2+y/2=0

pour k=0,5
-x/2+y/2=x/2+y/2 donc x=y=0 et $E_{0,5}=vect (0,0,1)$
pour k=-0,5
x/2+y/2=0 donc x=-y donc $E_{-0,5}=vect {(1,-1,0)(0,0,1)}$
pour k=1
idem $E_1=vect(0,0,1)$

Je comprends bien que c'est faux et complétement absurde mais je ne vois pas d'où vient mon erreur...
Merci d'avance

Posted by: Zebulon

Bonjour,
l'erruer est ici :

Citation:

Posté par yonyon

Ainsi pour k valeur propre, u(x,y,z) appartient à E_k ssi:
-kx+y/2=x/2+y/2=0

vous avez oublié le z!
C'est $\Large\left\{-kx+{y\over2}=0\\{{x\over2}+{y\over2}+(1-k)z=0}\right$
Vous avez donc la bonne réponse pour k=1, mais il faut recalculer pour k=0.5 et k=-0.5.
Je trouve $E_{0.5}=<(1,1,-2)>$ et $E_{-0.5}=<(1,-1,0)>$ , ce qui est correct vu la matrice P.

Posted by: yonyon

Merci beaucoup