Matrice diagonale

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Posted by: djin_djin

Bonjour, je n'arrive pas à répondre à cette question :

On suppose qu'une matrice A € Mn(R) est diagonalisable.
Soit P € R[X]. P(A) est-elle diagonalisable ?

Merci d'avance !


Posted by: tize

Bonjour,
si tu as des doutes montre le déjà pour A^n...


Posted by: djin_djin

On suppose A^n diagonalisable.
Donc il existe (R,T) tq A^n = RTR^(-1)

On a : A est diagonalisable.
Donc il existe (P,Q) tq A = PQP^(-1)
A^n = P Q^n P^(-1)

On identifie P avec R et Q^n avec T. Ca marche.

CCL : A^n est diagonalisable.

C'est bon comme ça ?


Posted by: SimonB

Citation:
Posté par djin_djin
C'est bon comme ça ?


Oui.

Qu'est-ce, maintenant, qu'un polynôme en A ?


Posted by: JCardan

ton problème est régle. Si je reprends tes notations et que je pose n=deg(P) on a :

P(A)=somme de k=0 à n de alpha(k)A^k
=somme de k=0 à n de alpha(k)(T^-1)(Q^k)T
=(T^-1)(somme de k=0 à n de alpha(k)(Q^k))T
Or les alpha(k)Q^k sont toutes diagonales, leur somme est donc diagonale.
Donc P(A)=(T^-1)DT avec D diagonale donc P(A) est diagonalisable


Posted by: djin_djin

Citation:
Posté par JCardan
ton problème est régle. Si je reprends tes notations et que je pose n=deg(P) on a :

P(A)=somme de k=0 à n de alpha(k)A^k
=somme de k=0 à n de alpha(k)(T^-1)(Q^k)T
=(T^-1)(somme de k=0 à n de alpha(k)(Q^k))T
Or les alpha(k)Q^k sont toutes diagonales, leur somme est donc diagonale.
Donc P(A)=(T^-1)DT avec D diagonale donc P(A) est diagonalisable


D'accord, je n'avais pas pensé à faire passer les matrices de passage en facteur, pourtant on en a bel et bien le droit puisqu'on ne fait aucune commutation.
Merci pour l'aide !


Posted by: SimonB

Merci JCardan. Mais c'est pas vraiment l'esprit du forum que de balancer des solutions toutes faites :-(


Posted by: tize

Oui tu aurais pu t'abstenir JCardan...
lire la note aux correcteurs deuxième message après le point 5)










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