J'ai A=(aij) de Mn(C) telle que abs(aii)>bi=somme de la valeur abs de ts les
autres termes de la ligne (A est donc inversible)
soit D=diag(a11,...ann) et L=D-A
on suppose de plus que qqsoit i, aii>0 (en gros la diagonale est reelle
strictement positive),j'ai montré que detA>0.
On demande maintenant de montrer que toute valeur propre de D^(-1)L est de
module strictement inférieur à 1.
J'ai culculé D^(-1)L=In-D^(-1)A, c'est une matrice à diagonale nulle, mais je
ne vois pas comment étudier ses valeurs propres.
On pose X0,B dans C^n et D*X_k+1=L*X_k+B. Prouver que (X_k) converge vers X tel
que AX=B
Ben là je n'ai pas trop d'idée non plus. Il faut sans doute utiliser la
question precedente, il faut ainsi choisir une norme pour parler de la
convergence....
merci
Posted by: masterbech
"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news: 20040113141538.15174.00003046@mb-m04.aol.com...
> Bonjour,
>
> J'ai A=(aij) de Mn(C) telle que abs(aii)>bi=somme de la valeur abs de ts
les
> autres termes de la ligne (A est donc inversible)
>
> soit D=diag(a11,...ann) et L=D-A
>
> on suppose de plus que qqsoit i, aii>0 (en gros la diagonale est reelle
> strictement positive),j'ai montré que detA>0.
tu supposes alors que A est à coefficients réels sinon c'est faux :
(2,i,
1,2)
>
> On demande maintenant de montrer que toute valeur propre de D^(-1)L est de
> module strictement inférieur à 1.
Soit z une valeur propre de D^(-1)L . En écrivant les n équations
correspondantes, en utilisant que (aii)> somme(j<>i, abs(a(i,j))) tu
obtiens que
quelque soit k,
abs(z)*abs(xk)<max(j<>k, abs(xj)) où xj est la jème coordonnée du vecteur
propre asocié à z.
donc abs(z)*abs(xk))<max(j, abs(xj)) ) d'où
abs(z)*max(k, abs(xk)) < max(j, abs(xj)) donc abs(z)<1 (car max(k,
abs(xk))>0)
> On pose X0,B dans C^n et D*X_k+1=L*X_k+B. Prouver que (X_k) converge vers
X tel
> que AX=B
Le théorème sur le rayon spectral montre que lim(N'(L^k))^(1/k)=sum( abs(z),
z valeur propre de L)<1 pour toute normé subordonnée N'
tu fixes une norme sur R^n et tu notes N' sa norme subordonnée associée
X(k+1)-Xk=L*(X(k)-X(k-1)
Par récurrence, X(k+1)-X(k)=L^k*(X(1)-X(0))
Posons r=lim(N(L^k))^(1/k)=sum( abs(z), z valeur propre de L)
il existe s<1 tel que pour k assez grand, N(L^k))^(1/k)<=s <==>N(L^k))=s^k
donc N(X(k+1)-Xk)<=N'(L^k)N'(X(1)-X(0))<=s^k*N'(X(1)-X(0))
La série sum(k, X(k+1)-X(k) est sommable donc la suite (X(k)) converge dans
R^n.
et sa limite X vérifie DX=LX+B <==>AX=B