On note E l'ensemble des applications définies sur R à valeurs dans C.
Pour f appartenant à E; on appelle g l'application définie par quelque soit x appartenant à R, g(x)=f(x+2pi)
On considère psi:f--->psi(f)=g.
On a En, sev de E engendré par la famille F(f0,...,fn) où
f0:x--->exp(iax) ... fn:x--->(x^n).exp(iax)
Avec k appartenant à [|0,n|], on me demande d'écrire psi(fk) comme combinaison linéaire des éléments de F. C'est sans doute tout bête, mais je ne comprend pas vraiment comment marche la fonction psi. psi(fk)=gk=fk(x+2pi) ???
Ensuite, on désigne par m l'endomorphisme de En défini par : pour f appartenant à En, m(f)=psi(f).
On note M la matrice de m relativement à la base F. Montrer que M est une matrice triangulaire supérieure d'ordre n+1.
Je ne sais pas étant donné que je n'ai pas encore fait le cours sur les matrices (et oui nous sommes très en retard).
Merci de votre aide.
Posted by: mathelot
L'application psi est linéaire. f0 est un vecteur propre de psi de valeur
propre exp(i*2pi*a). En évaluant la fonction psi(fk) au point x et en
développant psi(fk)(x) avec la formule du binôme, on obtient la fonction psi(fk) comme combinaison linéaire des fonctions fi pour 0<=i<=k et donc la matrice de psi est triangulaire supérieure ds la base (f0,f1,...,fn).