Maths Spé, divisibilité et congruences terminaleS

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 10:47

Bonjour, voici mon devoir que (après avoir tenté mille fois de le faire) je n'ai pas reussi ..

Exercice 1
Soit a, b et c des entiers.
1) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de

par 7 ? par 9 ?
( J'ai trouvé celle ci , par 7 les restes sont 0;1;6 et par 9 les restes possibles sont 0;1;8 )
2) On suppose que

démontrer que 7 divise a, b ou c.
( Comment faire ? :mur: )
3) On suppose que

démontrer que 3 divise a, b ou c. L'entier 9 divise-t-il a, b ou c ?

Exercice 2
Soit n un entier naturel non nul. Quel est le reste de la division euclidienne de

par 7 ?

Exercice 3
Déterminer le chiffre des dizaines et le chiffres des unités des entiers

. On détaillera les calculs, sans CALCULATRICE, ils doivent pouvoir se faire mentalement.

Merci d'avance :we: pour votre aide !

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 11:06

Aidez Moi Je Vous En Supplie ! ! !

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 11:40

Le 1) du 1) tu n'as rien ?

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 11:46

Si, j'ai trouvé !
Les restes possibles de la division par 7 sont 0 1 et 6 et les restes possibles de la division par 9 sont 0 1 et 8 !

Pour la 2) ensuite je n'y arrive pas :/

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 11:49

D'accord, je n'avais pas lu tout.
Pour que a^3 +b^3+c^3 soit divisible par 7, que doit valoir cette somme modulo 7 ?
Et comment l'obtenir avec les valeurs modulo 7 que tu as trouvées précédemment ?

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 11:54

signifie que il reste 0

congrue a 0 mod 7 !

Mais ensuite, je ne comprends pas ? Comment faire, enfait il faut remplacer quoi ?

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 11:58

Oui le résultat doit être 0.
Maintenant comment peux tu l'obtenir avec les valeurs modulo 7 données par les cubes ? Tu as à ta disposition 0, 1 et 6, il me semble.

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 11:58

En faite, vu que les restes possibles sont 0 1 et 6
On a donc

congrue a 0 mod 7
ou

congrue a 1 mod 7
ou

congrue a 6 mod 7

Mais que doit on en faire ensuite ?

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 12:02

Je te donne une solution possible:
0+1+6=0 modulo 7.
Trouve les autres cas possibles.

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 12:07

?
Pour

et

les restes possibles sont les memes

congrue a 0, a 1 ou a 6 mod 7
Pareil pour

Que représente 0 1 6 ?
0 est le reste de a^3 ? 1 le reste de

et 6 le reste de

?

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 12:10

a^3=0 ou 1 ou 6.
pareil pour b^3 et c^3.
Quand on fait l'addition des 3 cubes, en modulo 7, ça donne:
(0 ou 1 ou 6) + (0 ou 1 ou 6) + (0 ou 1 ou 6)
D'accord ?

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 12:22

Ok !
Donc on a 0 1 6
0 1 1
0 0 0
6 6 6
etc

on doit tous les enumerer ?

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 12:24

Non mais recherche les sommes qui donnent 0.

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 12:25

Mais vu que

On ne peut que avoir

congrue a 0+0+0 mod 7
ou

congrue a 0+1+6 mod 7

non ?

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 12:33

Oui c'est ça. Donc il faut forcément au moins un 0 pour l'un des termes !

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 12:36

je peux conclure comment alors ??

Mais si on a

congrue a 0+1+1 mod 7

7 ne divise pas

par **nodjim** » 30 Oct 2010, 12:45

On demande seulement de prouver que l'expression n'est divisible par 7 qui si l'un des nombres est divisible par 7. Or, comme il faut forcément au moins un 0, c'est ce 0 qui est divisible par 7. Si a^3=0 modulo 7 alors a=0 modulo 7.
d'accord ?

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 12:59

Merci beaucoup je vais m'attaquer au 3) la :/

par **mathilde.guelen** » 30 Oct 2010, 18:45

Quelqu'un pourrais m'aider pour le 3) de l'exercice 1 ? :we:

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