Exercice 1 :
On considère le tétraèdre ABCD. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
1.a)
Soit G1 le barycentre du système de points pondérés {(A;1);(B,1);(C;-1);(D;1)}
Exprimer vecteur de IG1 en fonction du vecteur de CD.
b)
Soit Gé le barycentre du système de points pondérés {(A;1);(B,&);(D;2)}
Démontrer que G2 est le milieu de [ID].
c)
Démontrer que IG1DJ est un parallélogramme.
En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J. 2.Soit m un réel. On note Gm le barycentre du système de points pondérés {(A;1);(B,1);(C;m-2);(D;m)}.
a)
Préciser l'ensemble E des valeurs de m pour lesquelles Gm existe. Dans la suite de l'exercice, m appartient à E .
b)
Démontrer que Gm appartient au plan (ICD).
c)
Démontrer que le vecteur m x vecteurJGm est constant.
d)
En déduire l'ensemble F de points Gm quand m décrit l'ensemble E.
Exercice 2 : 1.Résoudre dans IR l'équation sin(2x+pi/4) = 1/2
2.Résoudre dans IR l'équation sin x + cos x = 0 (on pourra penser à multiplier chaque membre de l'équation par (racine de 2) /2 = cos (pi/4) = sin (pi/4) )
Exercice 3 :
On considère la fonction f définie su IR par f(x) = x - e^x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1.a)Déterminer les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition. b)Démontrer due la droite d'équation y = x est asymptote oblique à (C) en -infini.
2.Etudier les variations de la fonction f.
3.Dresser le tableau de la fonction f.
4.Tracer (C).
(racine de 2) /2 = cos (pi/4) = sin (pi/4) )