Ca ressemble à un exercice simple, mais mes souvenirs de prépas sont
un peu loin.
Donner un majorant du premier t>0 pour lequel on a:
sum(b_i*sin(w_i*t), i=1..N)=0 (les b_i et w_i sont tous réels. Pas
d'hypothèses supplémentaires)
Merci d'avance.
Pierre
Posted by: Olve
> Donner un majorant du premier t>0 pour lequel on a:
> sum(b_i*sin(w_i*t), i=1..N)=0 (les b_i et w_i sont tous réels. Pas
> d'hypothèses supplémentaires)
2+sin t ne s'annule pas. Majoration = infini :-(
Amities,
Olivier
Posted by: Patrick Coilland
"
>> Donner un majorant du premier t>0 pour lequel on a:
>> sum(b_i*sin(w_i*t), i=1..N)=0 (les b_i et w_i sont tous réels. Pas
>> d'hypothèses supplémentaires)
>
> 2+sin t ne s'annule pas. Majoration = infini :-(
>
w1 = ?
Posted by: Paul Delannoy
Olve a écrit:
>> Donner un majorant du premier t>0 pour lequel on a:
>> sum(b_i*sin(w_i*t), i=1..N)=0 (les b_i et w_i sont tous réels. Pas
>> d'hypothèses supplémentaires)
>
>
> 2+sin t ne s'annule pas. Majoration = infini :-(
Oui mais est-ce bien de la forme donnée ? je ne crois pas...
Posted by: Olve
> w1 = ?
Aie, oui, evidemment, vu comme cela :-)
Bon, je vais reflechir alors :-)
Amities (et merci !)
Olivier
Ce qui est important : il existe une infinite de B entiers
positifs tels que
il existe (a_1,a_2, ..., a_N) avec
|w_i - a_i/B| <= B^{-1-1/N}
Juste sous la main, je n'ai pas d'estimation de la taille
des B en fonction des w_i, mais on doit y arriver.
(2) Si on dispose d'une telle approximation, alors
f(t) = sum(b_i*sin(w_i*t), i=1..N)
= sum(b_i*sin(a_i*t/B), i=1..N)
+ 2 Pi theta sum(|b_i|,i)*B^{-1/N}
avec |theta|<=1 si 0<t<2 Pi B. Ce qui nous ramene a une fonction
periodique sur 0..(2 Pi B)
Ensuite, l'integrale entre 0 et 2 Pi B du carre de la fonction
approximante F vaut
Pi sum(|b_i|^2,i)/2 = 2 Pi M disons
et donc il existe un t1 tel que |F(t1)|>= M.
En t2= 2 Pi B -t1, nous avons F(t2)=-F(t1).
Prenons B >= (4 Pi /M )^N. Supposons pour simplifier
que F(t1)>0. Alors f(t1) >= M/2 et f(t2) <= -M/2
et un zero entre les deux.
(3) Je ne crois pas que l'on puisse eviter l'approximation
rationnelle simultanee.