Mathématiques - Mais comment donc arrive cette formule du changement de variable ?

Mais comment donc arrive cette formule du changement de variable ?
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Posted by: duchere

Bonjour, je viens de découvrir l'intégration par changement de variable...
Pleins de sites démontrent que la formule est vraie, et c'est très simple....
Mais aucun n'explique quel cheminement logique peut nous amener à trouver ce théorème...
Je hais apprendre des théories sans en connaitre le fond ou tout au moins sans en avoir l'impression...
Quelqu'un pourrait-il me donner des liens ou bien m'en parler ?
Merci
Jean

PS : j'ai essayé de faire le cheminement moi même mais j'ai un peu de mal...

PS : je suis un terminale... ne sortez pas de choses trop difficiles bien que je sois connaisseur

Posted by: fonfon

Salut, je te donne un lien je sais pas si c'est vraiment ça que tu veux , je vais essayer de retrouver mon cours que j'avais fait la-dessus(mais comme c'est un peu le bordel..) en attendant:
->http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/integD.html

Posted by: nox

Je crois que le vrai théorème de changement de variable je l'ai vu en 2eme année de DEUG ou en licence si je me souviens bien et pour le comprendre à fond et rigoureusement il te manque quelques notions.

Mais peut-être que quelqu'un arrivera à te l'expliquer de manière simple sans utiliser ces outils.

* * * * * *

autant pour moi le lien juste au dessus a l'air bien fait :D

Posted by: Nicolas_75

Bonjour,

En "notation physicienne", le changement de variable se comprend très bien :
$I=\Bigint f(x)\mathrm{d}x$
On pose $x=x(t)$ et on introduit un $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}$ :
$I=\Bigint f(x(t))\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$
$I=\Bigint x'(t)f(x(t))\mathrm{d}t$

Nicolas

Posted by: Chimomo

Pour l'intégrale des fonctions de variables réelles le changement de variable peut se comprendre assez facilement, car si tu prends F une primitive de f, on a : $\int_{a}^{b}g'(t)f(g(t))dt = F(g(a)) - F(g(b)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$ .

Bien sur il faut pouvoir utiliser une primitive(ce qui est toujours faisable pour une fonction f continue sur un intervalle), mais ca donne déja une idée.

Posted by: duchere

Merci pour les réponses...
Mouais.....
En fait....
Ce que je me demandais, c'est comment un mathématicien a pensé à cela....
Là, j'ai l'impression qu'on donne une formule, et qu'on montre que c'est vrai, et non pas qu'on montre ce qui peut nous amener à trouver cette formule....
NON ?

Posted by: nox

si on veut être rigoureux :

* pour pouvoir remplacer x par une variable y=Q(x) il faut que F soit une application injective et différentiable

*il faut que |det Q' |f(Q) soit intégrable (L1)
(det est le déterminant)

Posted by: nox

en fait je pense qu'on a trouvé ca de la manière suivante :

on veut intégrer la fonction f(x)...sans succès.

Comment la modifier sans pour autant modifier le résultat de l'intégrale?

---> en considérant x comme résultant lui même d'une fonction Q(y).

Ainsi notre fonction f(x) devient f(Q(y)) et l'intégrale reste la même.

Restait ensuite à construire le théorème de manière rigoureuse

Posted by: abel

Salut, cette formule se comprend bien en physique qud par exemple on veut integrer une fonction en coordonnées polaire : un deplacement elementaire est en cartesienne dr=(dx,dy) et en polaire c'est dr=(dr,r*da) (a comme angle) en coordonnées polaire. Pour calculer l'aire d'un cercle, on somme les éléments d'aire élémentaires qui sont des "petits carrés" en cartesienne (dx*dy) et qui sont des morceaux de cylindre en polaire (r*dr*da). on comprend bien qu'il est plus facile de "remplir" un cercle par des portions de cylindres que par des carrés donc en gros le changement de variable permet de changer la géométrie des éléments que l'on ajoute (enfin c'est une interpretation dans mon cas uniquement)....Bon voilà comment on peut le comprendre intuitivement, apres, on fait des changements de fonctions plus tordus pour se ramener à des fonctions +simple que l'on sait mieux primitiver...
Voilà j'espere ne pas t'avoir trop embrouillé avec l'exemple de la physique..

Pardon, ce ne sont pas des morceaux de cylindre dans le plan mais en gros ca ressemble à des arcs de cercles avec une "epaisseur tres petite"

Posted by: Chimomo

C'est vrai que c'est probablement les physiciens qui ont inventés les changements de variables puisque l'intégrale à été définie pour la physique au départ (des histoires de fluxions que Newton sommait ...).

Posted by: yos

Tu connais les formules de dérivations :
1) (u+v)'=u'+v' et (ku)'=ku'
2) (uv)'=u'v+uv'
3) (vou)'=(v'ou)Xu'

Si tu les traduis en calcul intégral, tu obtiens respectivement :
1) la propriété de linéarité,
2) la méthode d'intégration par parties,
3) la méthode de changement de variable.

Rien que du très naturel par conséquent.

Posted by: kazeriahm

ceci dit si tu ve comprendre pourquoi et comment tous les resultats ont ete conjectures, puis comment la demonstration est venue a l'idee du mathematicien, ta pas fini. Je pense que l'essentiel est de comprendre l demonstration, son"essence" s i je puis dire. Apres ca tient plus de l'histoire des sciences

Posted by: duchere

kazeriahm >> Jamais je ne pourrai faire comme toi.
Ca me portera surement tort, car en prépa, parait-il, il faut raisonner comme toi....
Je ne suis pas capable...
Et j'aime l'histoire des maths pour la simple et bonne raison que parfois, j'ai du mal à croire que les maths ne soient pas qu'illusions....
J'ai du mal à croire qu'une chose si solide ait pu être construite...
J'ai du mal à croire qu'on ne se morde pas la queue aussi....
Et le pire dans tout ca, c'est que l'évolution des maths a été tellement "buissonnière" si vous voyez ce que je veux dire, qu'il est impossible de remonter au fondement des maths....
Les maths sont la plus grande chose que l'homme ait créé, les maths sont quelque chose qui le dépasse, il me semble....

Je rêve d'un livre qui retrace l'histoire des maths.
Si un jour mon niveau le permet, j'aimerais écrire un tel livre, pour tout au moins avoir l'impression de comprendre comment l'homme a pu créer une telle chimère !

Enfin bref....
Voilà ma vision de jeune ado rebelle, qui rentrera certainement bientot dans les rangs et n'aura que faire de savoir le pourquoi... du comment !

Jean

Posted by: Chimomo

Duchere, on ne t'a jamais di tde retenir de facon bete et méchante, on t'as dit de comprendre comment ca marche . Quant à savoir d'où viennent ces résultats historiquement, il existe pleins de livres sur l'histoire des maths et plein de publications (notamment au sujet des intégrales et donc probablement des changements de variables).

Posted by: duchere

Chimono, même si tu ne le fais pas exprès, je n'aime pas du tout ta façon de parler. Pourquoi prendre cet air supérieur ?

Et si tu sais lire, et non pas seulement péter plus haut que ton cul, j'ai très bien compris ce que vous dites de faire : comprendre que le théorème est vrai.
Oui, et non pas retenir, en effet.

Mais ce que j'aimerais ( et ce qui est plus divin qu'humain, ce dont tu es surement capable grand chimono), c'est comprendre comment on trouve ce théorème vrai. Que je sache, il n'est pas tombé du ciel... quoi que la philosophie de mon année de terinale m'en fait de plus en plus douter.

J'arrive pas trop à trouver d'exemple, mais bon... j'en donne quand même un pourri....
La définition de la dérivée nous permet de démontrer facilement que si elle est positive, la fonction est croissante.
Cependant, il est plus intéressant de comprendre que Newton a pensé à étudier le taux d'accroissement à un instant précis et c'est comme cela qu'il a posé la définition de la dérivée(je me trompe peut-être), et là on comprend dessuite mieux non ?
Enfin je sais pas .. C'est mon avis en tout cas....
PS : des livres d'histoire des maths existent ? Non ? Sérieux ?

Posted by: duchere

Nicolas 75>>> Comment expliques-tu le changement de bornes avec ta démo ?

JEan

Posted by: Nicolas_75

Jean >> Je n'ai pas de fait de démo. Juste un "jeu d'écriture physicien".
Au début, on intègre par rapport à x (dx).
Au bout d'un moment, on intègre par rapport à t (dt)
Il faut adapter les bornes en utilisant t=t(x)

Nicolas

Posted by: duchere

Je suis d'accord avec toi.
Je ne te faisais pas de reproche.
Jean

Posted by: Nicolas_75

Je ne l'ai pas pris comme un reproche. ;-)
Je répondais juste à ta question.

Cordialement,

Nicolas

Posted by: Chimomo

Modère toi Duchère, et cesse d'être insultant. Ma façon de parler est tout a fait normale et jen'ai aucun air supérieur. Si tu savais lire tu aurais vu que nous avons dit que le changement de variable, comme l'intégrale, venaient probablement de la physique car c'est Newton qui l'a a inventée. L'explication physicienne qui a été fournie me parait en effet un bon chemein qui aurait mené au changement de variable.

Ta façon de voir ce que t'as dit Kazerhiam parrassait très péjorative, c'est juste pour ca que j'ai réagi.
SInon tu devrais trouver la réponse à ta question dans n'importe quelle bibliothèque universitaire.

Posted by: duchere

Ce que fait Kazerhiam, c'est ce qu'il faut faire pendant les études, c'est tout, et ce n'est pas préjudiciable !
Et j'ai justement fait remarqué à Nicolas que c'était selon moi la meilleure réponse qui m'ait été apporté et je l'en remercie dans la mesure où désormais dx n'est plus constant.
dx , c'est x(x0+h)-x(x0) quand h tend vers 0
C'est finalement selon moi une sorte d'extension de l'intégrale de Rieman dans la mesure où maintenant on découpe l'intervalle en de minuscules intervalles de taille variable selon t, d'où l'apparition de dt

Non ?

Jean

Posted by: duchere

Rien .......

Posted by: Nicolas_75

Citation:

Posté par duchere

[...] dans la mesure où désormais dx n'est plus constant.
dx , c'est x(x0+h)-x(x0) quand h tend vers 0
C'est finalement selon moi une sorte d'extension de l'intégrale de Rieman[...]

Pourquoi "extension" ? Selon moi, c'est exactement cela l'esprit de l'intégrale de Riemann : une succession de petits rectangles, dont la largeur tend vers un infiniment petit "dx".

Nicolas

Posted by: duchere

Eh bien selon moi, l'intégrale de Rieman,
c'est $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx*f(a+ndx)$
avec $dx = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$
C'est-à-dire dx constant, non ?

Tandis que si dx n'est pas constant, bon, et là j'ai un peu de mal à formuler, mais il me semble que ce serait :

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+ndt)*f(a+\sum_{i=0}^{n} dx(a+idt))$
avec $dt = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$
Non ?
J'suis pas sûr de moi là...
Jean

Posted by: duchere

Je pense que c'est faux.
Quelqu'un peut m'aider ?

Posted by: nox

Citation:

Posté par duchere

avec $dx = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$
C'est-à-dire dx constant, non ?

baeuh constant par rapport à quoi?le but oui c'est de faire tendre les dx vers 0 et c'est le cas dans l'intégrale de Riemann puisqu'on passe d'une somme discrète à une somme continue.

Mais évidemment dans l'intégrale dx est constant. Le passage à la limite où on fait tendre dx vers 0 correspond au passage de la somme discréte à la somme continue.

Enfin moi je vois ca comme ca...

Posted by: duchere

je suis totalement d'accord avec toi....
Cependant, ce que je note, c'est qu'il n'y a aucune raison pour que dx soit constant... D'où une formule plus générale de l'intégrale que j'essaie d'énoncer et à laquelle j'ai oublié de rajouter que
$\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} dx(a+ndt) = \lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N}$

Jean

Posted by: nox

Citation:

Posté par duchere

Cependant, ce que je note, c'est qu'il n'y a aucune raison pour que dx soit constant...

comment ca?quel est le passage qui te gêne?dx est la valeur de "la largeur du rectangle".La valeur de dx constante choisie est la valeur limite cad infiniment petite...non?

Posted by: Nicolas_75

Je ne sais pas trop où tout cela nous mène...

$\mathrm{d}x$ n'est pas un réel, c'est une notation.

$\Bigint_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to +\infty}\Bigsum_{k=0}^n\left[f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\right]\frac{1}{n}$
EDIT : $\Bigint_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to +\infty}\Bigsum_{k=0}^n\left[f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\right]\frac{\fbox{b-a}}{n}$

Selon moi, ce qui se rapproche le plus de $\mathrm{d}x$ dans le membre de droite est $\frac{1}{n}$

Nicolas

Posted by: nox

Citation:

Posté par Nicolas_75

$\mathrm{d}x$ n'est pas un réel, c'est une notation.

il faut bien que ca représente quelque chose une notation. En l'occurence dx est bien un réel pour moi.

et je dirai plutot :

$\Bigint_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to +\infty}\Bigsum_{k=0}^n\left[f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\right]\frac{b-a}{n}$

je tombe donc d'accord avec duchere sur la valeur de dx

Posted by: Nicolas_75

nox, merci pour la correction de la formule.
Pour ma part, j'en reste là.

Posted by: nox

oui on commence un peu à tourner en rond ^^

Posted by: Chimomo

Certains vont trouver que je me répète par rapport à d'autre topics, mais l'intégrale de Riemann est une notion plus générale que des sommes de rectangles. En fait il s'agit là d'un cas particulier de ce qu'on appelle des sommes de Riemann, mais l'intégrale s'approche mieux avec des trapèzes, voir des polynômes.

Quand au dx, je pense qu'il est dangereux de le confondre avec (b-a)/n pour deux raisons :
1) Du point de vue des sommes de Riemann, on peut prendre un pas de subdivision totalement irrégulier, et votre dx n'a plus aucun sens.
2) l'origine de la notation dx se cache dans le calcul différentiel, il s'agit en fait d'une notation simplifiée pour représenter des applications linéaires donc il n'a en fait rien à voir avec un réel.

Pour revenir à la somme de Riemann qui rest le meilleur moyen d'aborder l'intégrale au lycée, elle est un peu plus générale que ce que vous en dites :
Si f est une fonction continue (continue par morceau suffit) sur [a,b], soient $a_{1}, ..., a_{n}$ des points de [a,b] avec $a_{1}=a$ et $a_{n}=b$ , et $c_{1}, ..., c_{n-1}$ tels que pour tout j $c_{j} \in [a_{j},a_{j+1}]$ . Alors $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1} - a_{i}) f(c_{i}$ tend quand pour tout i $(a_{i+1} - a_{i})$ tend vers 0 (ce qui implique que n tend vers l'infini) vers $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Posted by: duchere

Je crée un nouveau post, pour le dx variable...

Posted by: nox

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann

wikipedia n'est pas d'accord avec toi chimomo ^^

il ressort exactement la formule qu'on a mise au dessus et que je suis allé chercher dans mes souvenirs de licence :p

Je suis d'accord avec tout ce que tu as dit cependant la notion de base est bien celle qu'on a définie au dessus. Apres c'est certain qu'on peut avoir un pas variable est utiliser la méthode des trapèzes, des rectangles a gauche etc...

Posted by: duchere

La méthode des trapèzes, est-ce-que c'est pareil que Rieman sauf que le côté du haut du rectangle n'est plus horizontal mais devient de pente f'(x) ?
Ca me paraitrait bien non ?
Jean

Posted by: Sdec25

La pente du côté est (f(a+h)-f(a))/h, donc je ne dirais pas que la pente est f'(x), mais plutôt tend vers f'(x) quand h tend vers 0 (ok je chipote), du moins dans la formule on n'utilise pas f'(x).
Remarque : l'aire des trapèzes est la moyenne des aires supérieures et inférieures en utilisant les rectangles, puisque l'aire d'un trapèze = (aire grand rectangle + aire petit rectangle) / 2

Posted by: duchere

Oula ! Il me semble que cela ne veut rien dire f'(x) quand h tend vers 0....
cependant, je ne connais pas la formule, mais si tu veux me la donner je prends....
J'ai pas trop la foi de chercher... j'ferai ca en cours l'année prochaine...
Je demandais ca par curiosité, mais de toute manière c'est hyper intuitif....
ET est-ce-qu'il y a une manière encore plus précise de définir l'intégrale ?

J'ai vaguement entendu parler du développement limité qui si j'ai bien compris permet d'approcher une courbe par une courbe très proche, et non plus simplement par sa tangente, ca marche ca ? Désolé si j'dis dxes conneries...

Jean

Posted by: Sdec25

En fait je voulais dire : quand l'intervalle (h) tend vers 0, la pente du côté supérieur du trapèze tend vers la dérivée de la fonction. On ne peut pas vraiment dire que la pente est f'(x) car la base du trapèze n'est pas nulle, l'hypothèse h tend vers 0 est faite après, mais c'est vrai que je chipote là :D

Je n'ai pas lu tous les post précédents donc je vais peut-être dire des choses qui ont déjà été expliquées.
La formule dont je parlais c'est la somme de Riemann, c'est à dire $\Large \sum_{k=1}^{n} \frac{b-a}n f(a+k\frac{b-a}n)$ ou encore $\Large \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b-a}n f(a+k\frac{b-a}n)$

Si on fait des calculs approchés d'intégrales (quand on ne connaît pas de primitive), on remarque que l'aire des trapèzes est la moyennes des 2 sommes (inf et sup) ce qui est évident puisque l'aire d'un trapèze est la moyenne des aires des rectangles sup et inf.

On peut définir la somme de Riemann sur des trapèzes : $\Large \sum_{k=0}^{n} \frac{b-a}n \frac{f(a+k\frac{b-a}n) + f(a+(k+1)\frac{b-a}n)}2$
et on voit bien que c'est la moyenne des 2 sommes (sup et inf).

Citation:

ET est-ce-qu'il y a une manière encore plus précise de définir l'intégrale ?

Les intégrales sont définies par la limite commune de ces 2 sommes, ce que tu dois déjà savoir.

C'est vrai que c'est assez intuitif, mais si on calcule les sommes et qu'on fait tendre n vers l'infini, on trouve bien la même limite, donc il n'y a pas de problème pour défnir l'intégrale, mais pour le calcul approché on fait les trapèzes ou la moyenne des 2 sommes.

Sinon les développements limités ne sont pas utilisés (à ma connaissance) dans les intégrales.
Tu vas faire ça l'année prochaine, tu verras c'est très intéressant. On approche une fonction par la tangente (ordre 1), et avec les DL on peut approcher plus précisément avec des x^2, x^3 et ainsi de suite. Et il y a aussi les séries entières (développement limité non limité).
Si tu veux d'autres infos n'hésite pas

Posted by: duchere

merci beaucoup pour tes réponses qui sont hyper claires !
Tu penses que ce serait possible d'approcher les petites aires avec le développement limité pour avoir une précision plus rapide si par exemple on utilise un ordi pour faire un calcul approché ?
Jean

Posted by: Sdec25

La réponse est oui et non

Les développement limités sont utilisés pour calculer la valeur d'une fonction en un point, dans le cas de fonction qu'on ne peut pas calculer simplement (c'est à dire toutes les fonction qui ne sont pas des polynômes).
Quand on calcule une intégrale en faisant la somme des rectangles (ou trapèzes), on calcule la valeur de la fonction "en chaque point", et pour calculer la valeur l'ordinateur ne sait faire autrement que calculer un développement limité.
Donc les développement limités sont toujours utilisés dès qu'on a une valeur à calculer.

Les DL ne sont donc qu'un moyen de calculer la valeur d'une fonction, la méthode pour calculer les intégrales reste la même : soit en trouvant une primitive, soit en calculant la somme de Riemann.

PS : Est-ce que tu as déjà calculé une somme (pour une fonction simple genre x²) sans passer par l'intégrale ? On ne rend bien compte que les 2 sommes (sup et inf) tendent vers la même limite, alors qu'en regardant la formule avec le sigma c'est pas du tout évident.

Posted by: duchere

Merci pour ta réponse claire !
Oui mon fabuleux prof (même si un peu brouillon) l'a fait....
Et on s'en rend bien compte....
Cependant, même visuellement on s'en rend compte !
Mais la vision c'est pas les maths, et si 1000 ca marche, ca peut nous amener à dire des grosses betises la 1001 e ... C'est vrai.... :)

Posted by: Sdec25

C'est vrai ;-)

Posted by: duchere

Peux-tu regarder mon post sur le dx variable ?
Si tu n'as pas envie de te coucher....
Jean

Posted by: Chimomo

je tiens à préciser que ma formule est juste (vous pourrez vérifer si vous voulez que ca tend bien vers l'intégrale) et qu'elle n'est qu'une généralisation des sommes de Riemann que vous écrivez (et que wikipédia est très pratique mais pas une référence scientifique).

Posted by: duchere

ok pas de problème....

Posted by: nox

Oui j'approuve tout a fait ta formule chimomo ^^

Je voulais juste signaler que notre approche bien que moins générale est tout aussi juste et peut-être plus intuitive. C'est la manière la plus simple d'aborder l'intégrale de Riemann.

Posted by: kazeriahm

bah chimomo, la formule que t'as donnée définie la somme de riemann de la fonction sur une subdivision pointée, et quand le pointage est fait sur les points de la subdivision, la somme tend vers l'intégrale quand n tend vers 0...

aprés duchere tout ce que je veux te dire, c'est que l'interet de tout systeme educatif, quel qu'il soit, c'est de transmettre des informations aux étudiants, de les leur faire comprendre. Le programme de prépa est tellement lourd que si tu étais en cohésion avec ce que tu dis, tu chercherai à comprendre à quelles questions fondamentales les théorèmes que tu vois ont répondus, ce que je pense tu ne fais pas. c'est ainsi que je t'ai dit qu'il me semblait préférable de s'interesser au concept générale plutot qu'au théorème précis (ici la notion d'intégrale, son histoire, son pourquoi etc, plutot que le théorème du chgt de variable). Voila merci flex kiss love.

Posted by: duchere

Je suis libre

Ce qui ne veut pas dire que je n'écoute pas

Posted by: kazeriahm

alors autant pour moi

Posted by: duchere

Bonjour,
en y repensant, je ne suis plus tout à fait d'accord avec tout ce que j'ai pu dire, ce n'est qu'une facon de voir.
On peut aussi voir en cette intégrale une opération : intégrale de f dx entre x=a et x=b c'est sommer les variations de F sa primitive entre x=a et x=b....

Plus de géométrie, plus de dx réel, I=F(b)-F(a) devient évident et le fait que ce soit l'aire en dessous de la courbe de f une simple propriété.

Non ?

Jean

Posted by: nox

ca veut dire quoi "sommer des variations" ?

Posted by: duchere

$I = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{b-a}{N}*(f(a+(n+1)\frac{b-a}{N})-f(a+n\frac{b-a}{N}))$
Et comme $\lim_{N \to \infty}\frac{b-a}{N} = 0$
$I = \lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^{N-1} (F(a+(n+1)\frac{b-a}{N})-F(a+n\frac{b-a}{N}))$

C'est-à-dire la somme des variations de F entre a et b c'est-à-dire F(b)-F(a), non ?

PS : désolé pour les multiples erreurs de frape corrigées...