Bonjour bonjour à tout le monde =)
J'ai une petite question sur les suites arithmético-géométriques. Elle ne sort pas de mon cours, c'est quelque chose que j'essaye de comprendre par moi-même et j'aimerais être sûre que je m'y prends bien x)
En fait j'ai travaillé là-dessus ce week-end (sur un cas particulier issu d'un exercice), et j'ai essayé d'en tirer une méthode générale à laquelle je puisse me référer. Le but de ce message est donc de vous l'exposer pour que vous me disiez si elle est valable ou pas. ^^'
Dans tout mon raisonnement je conserve les mêmes notations.
Soit une suite (u_n) de N dans R définie telle que, pour a et b des réels non-nuls et u_0 un réel :
{ u_{n+1} = a*u_n + b
{ u_0
i) La limite de la suite (u_n), notée X telle que lim u_n = X se calcule de la manière suivante. X respecte l'équation aX + b = X, soit X = b/(1-a).
ii) On pose une suite (v_n) définie telle que : v_n = u_n - X. Elle représente la différence entre (u_n) et sa limite X. Logiquement, (v_n) converge vers 0 aussi rapidement que (u_n) converge vers X.
iii) La suite (v_n) est nécessairement géométrique. En effet :
v_{n+1} = u_{n+1} - X = a*u_n + b - X = a(v_n + X) + b - X = a*v_n + aX + b - X = a*v_n.
Soient les caractéristiques suivantes :
{ v_{n+1} = a*v_n
{ v_0 = u_0 - X
Donc : v_n = (u_0 - X)*a^n.
iv) On a, u_n = v_n + X, donc u_n = a^n(u_0 - X) + X.
Voilà voilà, je vous remercie de m'avoir lue !
Bonne fin de journée :)