Surface latérale d'un cône

[mathelot]

bonjour,
calculer l'aire de la surface latérale (dc, sans la base) d'un cône de révolution dont le disque de base
a pour diamètre 6m et dont la hauteur est 4m.
merci.

[WillyCagnes]

bjr

je prends la developpée du cône de rayon R et d'angle théta
H=hauteur du cone
d=diamètre=6 de la base

R²=H²+(d/2)²=4²+3²
R=5

soit L=longueur de l'arc= Pi.d= 6Pi
angle théta= 6Pi/R=6Pi/5

aire latérale du cône= R²*théta/2=5²*3Pi/5=15Pi m²

[chan79]

c'est 15 non ?

[mathelot]

est ce que l'orthogonalité de deux droites est encore au programme de Seconde
(chapitre géométrie dans l'espace) ?

pourquoi l'intersection de deux plans (affines) ne peut pas se réduire à un point ?

[mathelot]

dans la développée du cône, le sommet S du cône est nécessairement
le centre du cercle de base auquel cas l'aire latérale vaut
?

[Lostounet]

Salut Mathelot,

Cet exercice peut être proposé en classe de 4ème (je me souviens que je le faisais déjà en 4e).

Étant donné le rayon de la base, on peut calculer la génératrice g de ce cône de révolution par le th. de Pythagore (cf post de Willy).

Ensuite, on cherche à trouver l'angle au sommet dans la développée (le patron).
Cet angle est à 360 ce que la longueur de l'arc est au périmètre du grand cercle:

cela se traduit par A/360 = (2*pi*R)/(pi*g*2) = R/g

On peut donc déduire l'aire totale:

pi*g^2*(A/360) = pi*g^2 *R/g = pi*R*g


Il m'interpelle le fait qu'il y ait pas un facteur 2 dans cette formule... ! Car intuitivement, il faut avoir "autant de génératrices que de périmètre à la base". Quelqu'un pourrait-il expliquer ce phénomène :ptdr:

[Black Jack]

génératrice : g = V(R² + h²)

circonférence de la base du cône : 2Pi.R

L'aire du patron développé est dons celle d'un secteur circulaire de rayon V(R² + h²) et d'angle au sommet alpha = 2Pi * 2Pi*R/(2Pi *V(R² + h²)) = 2Pi.R/V(R²+h²)

Aire = alpha/2 * g²

Aire = Pi.R/V(R²+h²) * (V(R² + h²))²

Aire = Pi.R.V(R²+h²)

:zen:

[WillyCagnes]

nous sommes d'accord Aire=15Pi

[Pierrot73]

Oui, A = 15*Pi

Tant qu'on est sur la surface latérale du cône (qui n'apparaît pas souvent dans le forum), un autre résultat :

Avec h la hauteur, r le rayon du cercle de base et l'angle au sommet



Or,

Donc

Finalement,

Cet exercice peut être proposé en classe de 4ème (je me souviens que je le faisais déjà en 4e).

Ben dis donc, pas facile pour la 4ème ...

[Lostounet]

Ben dis donc, pas facile pour la 4ème ...

Pourtant, cela n'utilise que le théorème de Pythagore et la 4ème proportionnelle (vus en 4e et 5e respectivement)

[Pierrot73]

Pourtant, cela n'utilise que le théorème de Pythagore et la 4ème proportionnelle (vus en 4e et 5e respectivement)

Oui, je suis tout à fait d'accord avec toi Lostounet. Ces notions sont vues avant/pendant la 4ème. Je parlais plutôt, mais ce n'était pas du tout explicite dans mon post, du cheminement intellectuel nécessaire aux élèves de 4ème pour résoudre ce type d'exercice.

Quand je vois comment mes élèves de 3ème en soutien ont du mal à voir ne serait-ce qu'un triangle rectangle (étape 1 qui en écrème 50 %), et à faire le lien avec Pythagore (étape 2 qui en écrème 50 % des survivants de l'étape 1), je me dis que l'exercice sur la surface latéral du cône les aurait achevé :lol5: Les formules avec des pi, des carrés ou encore des racines les perturbent beaucoup ... Après, je suis conscient que ceux qui sont en soutien sont ceux qui a priori ont le plus de difficultés, bien que quelques uns soient entre 10 et 12 de moyenne. Donc j'ai un gros biais !

Tiens, ça me donne envie de faire le test avec mes élèves !

[Lostounet]

Salut Pierrot

Je comprends qu'il y en ait avec des difficultés en maths. Mais malheureusement je reproche un certain manque de travail à tous ceux qui ne reconnaissent jamais un triangle rectangle... es-tu d'accord?

Après tout, cela peut être travaillé...la proportionnalité, Pythagore... ce n'est pas inné, on apprend à prendre des initiatives quand on s'en donne les moyens.

[Pierrot73]

Je reproche un certain manque de travail à tous ceux qui ne reconnaissent jamais un triangle rectangle... es-tu d'accord?

Ce qui suit s'éloigne fortement du cône ! J'ai hésité à ouvrir un fil dans le café des maths.

Ah oui, c'est certain. Le manque de travail est la première cause de lacunes. D'ailleurs, c'est pour ça que je suis ces élèves (j'en ai de la 3ème à la terminale) : aider à rattraper le retard accumulé avec le temps et donner une envie, ou du moins une autonomie, d'apprentissage et d'application des maths. L'idée étant de leur apprendre à ré-apprivoiser les maths par différentes techniques qui ne sont possibles que parce que j'ai des élèves seuls ou par petits groupes.

Pour un certain nombre de ces élèves, j'ai remarqué qu'il y avait un apprentissage correct des leçons, mais une incapacité à appliquer ce qu'il faut quand il faut, à cause en partie de soucis de lecture de figure et/ou de compréhension d'énoncé. Ils savent ce qu'en un triangle rectangle, ils savent Pythagore, mais devant la feuille d'énoncé, c'est la panique et plus rien ne revient. Il y a comme un blocage psychologique face à l'entité "maths" qui ne peut être que fourbe et mesquine. Quand on les accompagne dans la résolution de ces exercices, ils y arrivent pas trop mal ; mais commencer un exercice semble les pétrifier (le mot est un peu fort, mais c'est l'idée).

Bref, il y a un réel souci dans le rapport aux maths qui sont perçues comme une matière difficile, synonyme de sélection (prépa) et d'élite ("si tu ne fais pas un bac S, tu te fermeras beaucoup de portes"). Il y aurait comme une sorte de fatalité (les élèves subissent les maths) et en même temps un stress relatif à l'importance croissante qu'à cette matière dans la logique actuelle des processus de sélection et de reconnaissance. Rajoutons à cela une dépendance énorme à la calculatrice, et c'est le cocktail magique : 2/3 de panique qui font oublier la leçon lors des DS, 1/3 de dépendance à la Texas Instrument ou à la Casio qui a fait oublier peu à peu le calcul mental et qui conduit à des erreurs bêtes et une perte de logique.

Donc oui, manque de travail dans cette matière qui est subie par les élèves, matière qui est (in)consciemment est source de reconnaissance et preuve d'intelligence, et cette foutue calculette

Parmi les erreurs récentes marrantes mais qui font désespérer le prof que je suis de se sentir utile un jour :ptdr: , avec entre parenthèses le niveau des auteurs :
1/1 = 0 (3eme)
2-2 = ? "... euh, je peux prendre la calculatrice ?" (1ere)
5*5 = 10 (ça marche pour toutes les multiplications, et ça revient souvent quel que soit le niveau)
"ah bon, la division est une multiplication ?" (1ere)
"oui 50/100 est une fraction irréductible" (3eme, juste après avoir vu les pgcd)
x²-x = x (term ES)
-infini + 4 = 4 (term STI)
"pi ce n'est pas un nombre, c'est un mot" (grammaticalement, c'est pas faux non plus) (3eme)
"une dérivée, c'est la fonction initiale multipliée par -1" (term S)
"la table de 3 ... oula, ça fait longtemps que je ne m'en suis pas servi de celle-là" (1ere)
"un trinôme c'est comme un polynôme, mais c'est pour tracer la courbe graphique uniquement" (1ere)
moi : "essaie de résoudre cet exercice sans la calculette" ; réponse : "oh non je ne vais encore rien comprendre" (3eme) (celle-là m'a fait avoir un fou-rire de 5 min !)

[Black Jack]

Le hic est que ces quelques exemples sont maintenant représentatifs d'une énorme proportion des élèves, qui jadis auraient été priés de recommencer l'année jusqu'à atteindre le niveau suffisant que pour poursuivre.

Avec quelles conséquences ?