Dm spémaths

[MS9507]

Bonjour à tous !

J'ai un probleme en spémaths.
Il faut que je démontre que si a et b sont premiers entre eux et si a et c sont premiers entre eux alors a et bc sont premiers entre eux.

Je ne vois pas comment le démontrer avec le théorème de bézout:
-je sais que deux nombres non nuls a et b sont premiers entre eux si le pgcd(a;b)=1
-il existe un couple (u;v) d'entiers relatifs vérifiant la relation au+bv=1

Pouvez vous me donner des indications ? et j'ai aussi un probleme pour demontrer l'autre question....

Merci d'avance pour vos réponses

[Nightmare]

Salut,

te suggère-t-on d'utiliser le théorème de Bezout? Car cette question se résout presque immédiatement en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

[MS9507]

Salut,

te suggère-t-on d'utiliser le théorème de Bezout? Car cette question se résout presque immédiatement en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

Oui on me demande de l'utiliser, je connais la propriété, je sais l'appliquer avec des nobres donnés, mais avec les lettres j'ai du mal

[Nightmare]

D'accord, ça marche aussi mais c'est moins intuitif :

On sait par le théorème de Bezout (sens direct) qu'il existe u, v, x et y tels que au+bv=1 et ax+cy=1

Multiplie entre eux chaque membre de ces égalités et regarde ce qu'on obtient.

[MS9507]

D'accord, ça marche aussi mais c'est moins intuitif :

On sait par le théorème de Bezout (sens direct) qu'il existe u, v, x et y tels que au+bv=1 et ax+cy=1

Multiplie entre eux chaque membre de ces égalités et regarde ce qu'on obtient.

Et bien c'est que j'ai fait sur ma copie mais je n'étais pas sur de mon résultat, de ma demarche on trouve : au+bcv=1 donc pgcd (a;bc)=1 donc a et bc sont premiers entre-eux

[Nightmare]

cela dépend qui sont ces u et v que tu mentionnes. S'il s'agit du même u et du même v que dans au+bv=1 alors ce n'est pas bon.

[MS9507]

cela dépend qui sont ces u et v que tu mentionnes. S'il s'agit du même u et du même v que dans au+bv=1 alors ce n'est pas bon.

c'est pour cela que je ne trouve pas

sur ma copie je travaille avec n, p et q

j'ai ecris: - nu+pv=1 donc n et p premiers entre eux avec pgcd(n;p)=1
- nu+qv=1 donc n et q premiers entre eux avec pgcd(n;q)=1
et si j'écris donc:
nu+pqv=1 donc n et pq premiers entre eux avec pgcd(n;pq)=1

Ce n'est pas bon ?

[Nightmare]

Pourquoi aurais-tu le droit de multiplier par p un seul terme de l'égalité?

[MS9507]

Pourquoi aurais-tu le droit de multiplier par p un seul terme de l'égalité?

pour moi avec nu+pv=1 on sait que pgcd(n;p)=1
nu+qv=1 on sait que pgcd
et on multipliant comme j'ai fait, je trouvé n d'un coté et pq de l'autre, je sais que c'est faux, je cherche comment le faire, et c'est bete car avec des chiffres j'y arrive

[MS9507]

Pourquoi aurais-tu le droit de multiplier par p un seul terme de l'égalité?

J'ai enfin reussi a faire cette question ! Merci.

Toujours un probleme pour l'autre, je vais y réflechir