Probleme ouvert:Somme d'entiers. - 1ere S

[Combattant204]

Bonjour tout le monde,le truc dans cet exo c'est que je ne sais absolument rien faire :we:
Alors s'il vous plait aidiez moi. :help:
L'enonce:

1.Determiner un polynome P de degre 2 tel que:
P(x + 1) - P(x) = 2x et P(0) = 0.
2.En deduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: S = 2 + 4 + ... + 2n
3.En deduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

:hum:

[WillyCagnes]

bjr
tu sais que le polynôme est du 2è degré
soit P(x)=ax²+bx+c

calcule donc P(x+1)
puis la différence P(x+1)-P(x) qui sera égale à 2x
a=?
B=?
C=? qd P(0)=0

[paquito]

Le problème, c'est que vous n'avez aucun résultat sur les polynômes! Et ici il faut utiliser le résultat: 2 polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients; je te donnes le démarage:


je te laisse terminer.

[Combattant204]

bjr
tu sais que le polynôme est du 2è degré
soit P(x)=ax²+bx+c

calcule donc P(x+1)
puis la différence P(x+1)-P(x) qui sera égale à 2x
a=?
B=?
C==

Desole pour avoir pris tans de temps a repondre,s'etait dur a comprendre pour moi ce qu'il fallait faire,j'y vais:

P(x+1) = a(x + 1)^2 +b(x + 1) + c
= a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c
= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c

Soit P(x + 1) - P(x)
= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c - (ax^2 + bx + c)
= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c - ax^2 - bx - c
= ax^2 - ax^2 + 2ax + a + bx - bx + b + c - c
= 2ax + a + b

Le resultat n'est pas 2x,j'ai du faire une erreur quelque part?

[Combattant204]

Le problème, c'est que vous n'avez aucun résultat sur les polynômes! Et ici il faut utiliser le résultat: 2 polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients; je te donnes le démarage:


je te laisse terminer.

J'ai une question comment aviez vous fait pour passer de
2ax + (a + b)
A
(2)x + 0 ,
Je ne comprend pas la demarche.
J'aurais aime terminer mais malheureusement je ne sais pas vraiment quoi faire :triste:

[Shew]

:hum: On sait que P(0) = 0 donc 0 est une racine de P donc . De plus on a Ainsi 1 est aussi une racine de P .

[WillyCagnes]

tu as trouvé
P(x+1)-P(x)= 2ax + a + b
or on te dit =2x
donc par identification tu trouves
2a=2 soit a=1

et (a+b)=0 soit 1+b=0 donc b=-1

ton polynome s'ecrit P(x)=x²-x +c
or P(0)=0 donc c=0

calcule donc ensuite
p(1)-p(0)=?
p(2)-p(1)=?
..

p(n+1) -p(n)=?

tu additionnes tout ça et tu trouveras
P(n+1)= la somme demandée =2(1+2+3+..N)

tu as P(x) =x² -x donc
p(n+1) = (n+1)² -(n+1) soit aussi (n+1)(n+1-1) = (n+1)n


et la somme=1+2+3+..n= à la moitie de (n+1)(n) soit n(n+1)/2

[Combattant204]

tu as trouvé
P(x+1)-P(x)= 2ax + a + b
or on te dit =2x
donc par identification tu trouves
2a=2 soit a=1

et (a+b)=0 soit 1+b=0 donc b=-1

ton polynome s'ecrit P(x)=x²-x +c
or P(0)=0 donc c=0

calcule donc ensuite
p(1)-p(0)=?
p(2)-p(1)=?
..

p(n+1) -p(n)=?

tu additionnes tout ça et tu trouveras
P(n+1)= la somme demandée =2(1+2+3+..N)

tu as P(x) =x² -x donc
p(n+1) = (n+1)² -(n+1) soit aussi (n+1)(n+1-1) = (n+1)n


et la somme=1+2+3+..n= à la moitie de (n+1)(n) soit n(n+1)/2

Pour la 2 alors on fait:
2 = 2.1 = P(2) - P(1)
4 = 2.2.= P (3) - P(2)
6 = 2.3 = P( 4) - P(3)
Etc.
En ajoutant et en simplifiant des membres on a:
2n = P(n + 1) - P (n)
Alors
2+ 4 + ... + 2n = P(n + 1) - P(1) = (n + 1)^2 - (n + 1) = n^2 + n

Pour la 3:
1 + 2 + ... + n et la moitie de la somme precedente donc
1 + 2 + ... + n = (n^2 + n)/2

[WillyCagnes]

ok tu as bien compris, on t'a bien aidé.
retiens plutot cette formule de la somme de n entiers= n(n+1)/2


à l'avenir, essaie de bien comprendre la question , on te precise que c'est un polynome du second degré, donc tu dois avoir le reflexe de poser
P(x)=ax² +bx +c

ensuite ce n'etait que de la ptite cuisine et suivre ce que l'on te demandait
tu calculais P(x+1)
puis la difference P(x+1)-P(x)

ensuite tu sommais et tu trouvais la solution

[Combattant204]

ok tu as bien compris, on t'a bien aidé.
retiens plutot cette formule de la somme de n entiers= n(n+1)/2


à l'avenir, essaie de bien comprendre la question , on te precise que c'est un polynome du second degré, donc tu dois avoir le reflexe de poser
P(x)=ax² +bx +c

ensuite ce n'etait que de la ptite cuisine et suivre ce que l'on te demandait
tu calculais P(x+1)
puis la difference P(x+1)-P(x)

ensuite tu sommais et tu trouvais la solution

Merci pour vos suggestions,je vais les appliquer c'est certain!

[WillyCagnes]

entraine toi encore à faire des exos, tu seras à, l'aise pour tes contrôles

les maths ce ne sont que des astuces et logique et de la ptite cuisine, mais il faut bien apprendre ton cours avant bien sûr.

[Ben314]

Salut,

Le problème, c'est que vous n'avez aucun résultat sur les polynômes! Et ici il faut utiliser le résultat: 2 polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients...

Juste pour faire le chieur (j'aime bien ça... :zen: )
Ici, vu que l'énoncé ne demande pas de trouver TOUT les polynômes tel que... mais UN polynôme tel que... on peut se contenter de la partie "triviale" du théorème en question, à savoir que, pour que deux polynômes soient égaux, il suffit (évidement...) qu'ils aient les mêmes coefficients...

Signé : Le pinailleur...
(surtout que la différence entre un "il faut" et un "il suffit", au niveau du Lycéen de base, c'est en général pas top...)

[paquito]

Salut Ben,

Quand on écrit ssi, on ne peut pas se tromper! Il n'y a pas à réfléchir sur "condition nécessaire" et "condition suffisante", on applique sans se casser la tête;
c'est comme pour le théorème de Pythagore, je ne comprends pourquoi on distingue théorème direct et théorème réciproque alors qu'on a une équivalence; ça donne quoi? Pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle, il faut faire une petite démonstration par l'absurde en utilisant le théorème direct; de quoi perturber plus d'un gamin de 3°!!
Toujours est il que nos élèves de lycée ne connaissent pas le théorème d'identification des coefficients (je nai pas parlé de l'unité des coordonnées dans une base!!) et par exemple, la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples ne peut être traitée que si elle est effectivement donnée.
Sinon, oui, tu pinailles!