Problème de distance minimale

par **tania51** » 26 Oct 2011, 19:35

bonjour,

j'ai un souci sur un exercice que voici:

d'après le graphique, on se propose de trouver les positions éventuelles de M sur P pour lesquelles la distance AM est minimale.

1) conjecturer les positions cherchées avec un logitiel de geometrie. ( j'ai reproduit la figure avec le logitiel geolabo mais je n'arrive pas à conjecturer)

enssuite on me donne AM² = x^4 - x^2 + 1 puis ( x² - 1/2)² +3/4 sa fonction canonique.

2) En utilisant le fait que AM est minimale si, et seulement si, AM² est minimal, determiner les positions de M pour lesquelles AM² est minimal. Puis calculer cette distance minimale. ( je n'arrive pas à m'imaginer le problème déjà que je n'arrive pas au 1) )

s'il vous plait merci.

par **Mortelune** » 26 Oct 2011, 21:06

Bonsoir.

Une fois que tu as reproduit la figure, as-tu essayé de déplacer le point M pour voir ce qui se passait dans différente positions pour la distance AM ?

Ensuite, brutalement, on peut faire le 2 sans rien savoir du 1.

par **tania51** » 26 Oct 2011, 22:33

bonsoir, pour la 1) oui j'ai fait cette expérience et j'ai vu que la distance diminuait jusqu'à un certain point, cependant je ne voit toujours quoi conjecturer.

enssuite pour le 2) je ne comprend pas l'énoncé, j'ai essayé d'y résoudre mais sans succé...

merci

par **Mortelune** » 26 Oct 2011, 23:09

Qu'est-ce qui te bloque pour le 2 ?

Pour le 1... C'est vrai que donner en conjecture les positions exacte ce n'est pas évident mais tu peux toujours essayer de conjecturer avec des valeurs approchées.

par **tania51** » 27 Oct 2011, 09:32

bonjour,

pour les conjectures du 1) d'après le graphique je trouve 2 solutions égal à la valeur minimum AM = 0.87 ; 1ère solution ( -0.71; 0.5) puis 2ème solution (0.73; 0.53 ).
ce sont pour moi les deux seul valeurs ou AM est minimum.

enssuite pour le 2) comment trouver les positions minimales quand AM² est minimal ? Enssuite je pense remplacer ces résultats en utilisant AM = x:( x2 - x1 ) et y:( y2 - y1 )

enfin je crois..

merci

par **Mortelune** » 27 Oct 2011, 17:06

Pour le 2) l'énoncé te donne quand même explicitement à chercher le minimum de ( x² - 1/2)² +3/4.

Ce qui semble loin d'être insurmontable, il suffit de savoir qu'un carré de réel est positif.

par **tania51** » 27 Oct 2011, 17:51

bonjour,

tu veut dire en conjecturant les deux fonctions x² et la fonction canonique ?, cela devrait donner x= -1 et x= 1 ou alors je me trompe.

penses tu que c'est la bonne réponse pour le 1) ?

par **Mortelune** » 27 Oct 2011, 17:56

Pour le 1) tu pourras vérifier après avec la réponse du 2) mais tu es proche de la réponse comme tu le constatera.

Pour la 2) si on te donne : AM² = x^4 - x^2 + 1 = ( x² - 1/2)² +3/4 Alors minimiser AM² revient à minimiser sa forme canonique et donc à minimiser ( x² - 1/2)².

par **tania51** » 27 Oct 2011, 18:25

si je suis ton raisonnement pour le 2) cela devrait donner :

(x² - 1/2 )² =0
x²-1/2=0
( x - 1/sqrt 2)( x + 1/sqrt 2)=0

donc deux solutions: 1/sqrt 2 et -1/sqrt 2.

pour le 1) j'ai cherché avec le logitiel geolabo la distance la plus petite puis j'ai relevé les valeurs.

voila c'est un peu près tout..

par **Mortelune** » 27 Oct 2011, 18:29

Pour le 2 tu as bien suivi le raisonnement mais l'as-tu compris ?

Pour le 1) de toute manière sans calcul il n'y a pas grand chose à faire mais tu n'est pas loin du tout ;)

par **tania51** » 27 Oct 2011, 18:37

oui en fin de compte il fallait chercher en quelle valeur la fonction était minimum. le fait est que cette fonction avait son minimum en 0. il était donc facile comme tu m'a dit de trouver les solutions.

pour le 1) est ce les bonnes réponses car je ne suis pas si sure de moi..

un grand merci quand même à toi.

par **Mortelune** » 27 Oct 2011, 19:03

Pour le 1) tu as trouvé les réponses exactes au 2 normalement, mais pour conjecturer les réponses exactes juste en regardant une figure il faut avoir une grosse inspiration.

par **tania51** » 27 Oct 2011, 20:36

comme je l'ai dit précédemment mes réponses son précises grâce au logitiel geolabo dont j'ai fait une prise de vue pour le sujet.
le sujet est donc résolu à présent je te remercie grandement pour tes précieuses réponses et tes conseils..

à bientôt

par **tania51** » 28 Oct 2011, 19:45

bonsoir,

ps : désolé de te rappeler on m'a enssuite à partir du 2) de calculer cette distance minimale...

merci

par **Mortelune** » 28 Oct 2011, 22:12

AM² correspond au carré de la distance donc AM est la distance (AM>0). Et elle est minimal pour le x que tu as trouvé.

par **tania51** » 28 Oct 2011, 22:50

faut il que je garde 1/sqrt 2 seulement puisque tu me dit que AM>0.. ou alors je me trompe.

peut tu m'expliquer comment tu ferais pour calculer cette distance ? s'il te plait

merci

par **Mortelune** » 29 Oct 2011, 12:13

En fait on s'en fiche.

En suivant le même raisonnement que pour trouver les minima sur la forme canonique tu devrais trouver la distance minimale ...

par **tania51** » 29 Oct 2011, 18:39

pour la distance minimal je doit peut être me référer à celle trouver par la conjecture soit AM= 0.87

mais pour calculer cette valeur je ne voit pas comment, car ton raisonnement dernier pour les positions minimal trouver son juste , je ne vois rien d'autre à redire bref je ne sait pas...

merci.

par **Mortelune** » 29 Oct 2011, 22:46

AM² = ( x² - 1/2)² +3/4

Minimal, d'après vous pour AM²=3/4.

ça semble proche de la réponse non ?...

par **tania51** » 30 Oct 2011, 09:30

bonjour,

en suivant ton raisonnement:

AM² = ( x² - 1/2)² +3/4 à pour minimale AM²=3/4.

donc AM= racine carré de 3/4 et - racine carré de 3/4. cela donne racine de 3/2 et son opposé.

mais comment as tu déduit ce raisonnement...

merci encore

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