Point d'intersection de deux droites

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petiteliloudu30
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point d'intersection de deux droites

par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 19:51

Bonjour, voici mon exercice :
Le triangle ABC de repère (A; \vec{AB}; \vec{AC} et on considère les points R(-1;0) et Q(0;a) où a est un nombre réel différent de -1
1. a) Calculer les coordonnés des droites (BC) et (RQ)
b) Démonter que les coordonnées de leur point d'intersection P sont (1-a/1+a ; 2a/1+a).

1. a) J'ai trouvé [vecteur]BC(1 ; -1) Et [vecteur]RQ(1;a)

b) Il faut trouver les équations de chaque droite avec y = ax+p
donc ca ma fait y BC = -1x+1 et y RQ = ax+a

ensuite j'ai fait y BC = y RQ pour trouver le poin d'intersections seulement je n'arrive pas a terminer le calcul


Merci d'avance pour votre aide :)



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messinmaisoui
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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 20:05

1. a) J'ai trouvé [vecteur]BC(1 ; -1) Et [vecteur]RQ(1;a)

=> OK

b) Il faut trouver les équations de chaque droite avec y = ax+p
donc ca ma fait y BC = -1x+1
et
y RQ = ax+a


Faux ! ex pour y BC = -1x+1 , le point (1, -1) ne vérifie pas l'équation (-1 -1 X 1 +1)
Mon avatar me fait peur, est-ce normal docteur ?

petiteliloudu30
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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 20:09

Mais jai pourtant fait y = mx +p
m = yC-yB / xC- yB
m = 1/-1 = -1
et on remplace yB = -1 x +p
0 = -1 X 1 +p
p = 1
donc y BC = -1x +1
D'ou vient mon erreur ?

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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 21:05

AH Pardon ! c'est moi qui ait Faux :marteau:

Je regarde la suite ...
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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 21:12

ah merci :)
donc après pour trouver le point d'intersection, il faut faire yBC = yRQ
Ce qui donne : -x+1 = ax+a
-x-ax = -1+a
-1-ax = -1+a
x = -1+a / -1-a
Mais la je bloque

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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 21:13

y BC = -1x+1 et y RQ = ax+a

ensuite j'ai fait y BC = y RQ pour trouver le poin d'intersections seulement je n'arrive pas a terminer le calcul


Eh bien le système devient
-x+1 = ax+a
et
y = -x+1 (une des 2 équations à prendre yBC ou yRQ)


x(a+1) = 1-a
et
y = -x+1


x = (1-a) / (a+1) si a -1
et
y = -x+1



x = (1-a) / (a+1)
et
y = -(1-a) / (a+1) + 1


x = (1-a) / (a+1)
et
y = 2a/(a+1)

donc le point d'intersection sera ( (1-a) / (a+1) , 2a/(a+1))


CQFD ok ?
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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 21:16

Remarque :
ça
Ce qui donne : -x+1 = ax+a
-x-ax = -1+a
...
x = -1+a / -1-a


Cela aurait été plus simple de faire
ax+a = 1-x
=> x(a+1) = 1-a
=> x = (1-a) / (a+1)

Ceci pour éviter d'avoir des - partout ...
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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 21:16

la réponse c'est bien ça mais jai pas compri :hein:

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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 21:19

Ah si j'ai tout compri
Un grand merci a toi :) merci beaucoup ;)

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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 21:23

En fait l'intersection de 2 droites

y = -1x+1 et y = ax+a

permet d'écrire en substituant y : -1x+1 = ax+a
donc on va trouver la valeur "x" du point d'intersection
Mais il ne faut pas oublier de garder l'une des 2 équations y = -1x+1 ou y = ax+a
pour trouver ensuite le "y" du point d'intersection

ex :
y = 2x+1 et y = x-3

2x+1 = x-3
et
y=2x+1

x=-4
et
y = 2X(-4)+1 = -7

ou

y = 2x+1 et y = x-3

2x+1 = x-3
et
y=x-3

x=-4
et
y = -4-3 = -7
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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 21:27

Merci c'est trop gentil à toi
Merci beaucoup

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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 21:34

Euh tu pourait m'aider pour la 2ème partie de mon exercice :
2. M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des parallélogrammes.
a) Calculer les coordonnés des points M et N.
b) Démontrer que les points R,M et N sont alignés.

J'ai fait (je pense que c'est faux car je trouve les points non alignés) :
2. a) ( je vais pas détailler mes résltats)
N ( -2a/1+a ; 2a/1+a)
M ( -1 ; a+1)

b) Pour prouver qu'ils sont alignés, on prend
[vecteur]RM( -1+1 ; a+1 -0)
[vecteur]RM(0 ; a+1)

et [vecteur]MN( -2a/1+a +(1X1+a/1+a) ; 2a/1+a -(a+1X1+a / 1+a)
[vecteur]MN(1-a / 1+a ; a²+2a+1 / 1+a )

Si xy' - x'y = 0 > les vecteurs sont colinéaires donc les points sont alignés

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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 21:50

Pour QCBM j'aimerais avoir tes calculs
pour trouver les coordonnées de M ?
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par petiteliloudu30 » 24 Oct 2011, 21:56

M (x ; y)
J'ai fait vecteur BM = vecteur CQ
vecteur BM = (0-1 ; a-0)
vecteur BM = (-1 ; a)
(x-0 ; y-1) = (-1 ; a)

Donc x-0 = -1 <=> x = -1
y-1 = a <=> y = a+1
Donc M (-1 ; a+1)

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par messinmaisoui » 24 Oct 2011, 23:51

Vect(BM) = vect(AM) -vect(AB) donc (xm-1,Ym-0)

Vect(CQ) = vect(AQ) - vect(AC) donc (0-0,a-1)

Je trouve M (1, a-1) ... ?
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par petiteliloudu30 » 25 Oct 2011, 10:09

Et bien parce que tu as pris B( 1;0) et C (0;1) alors que moi j'ai pris B(0;1) et C(1;0). J'ai faux excuse moi je vais tout re faire :hein3:

Pour les coordonnés de M : vect(BM)= vect(QC)
(x-1 ; y-0) = (0-0 ; a-1)
x-1 = 0 x = 1
y-0 = a-1 y = a-1

Donc M( 1 ; a-1) (tu as donc trouvé pareil)

Pour les coordonnés de N : vect(AN) = vect(CP)
(x-0 ; y-0) = (1-a/1+a - 0 ; 2a/1+a - 1)
(x-0 ; y-0) = (1-a/1+a ; 2a-1 X 1+a / 1+a )
(x-0 ; y-0) = (1-a/1+a ; -1+a/1+a)

Donc N( 1-a/1+a ; -1+a/1+a)

Ensuite pour le b) J'ai choisi de calculer les coordonnés des vecteurs RM et MN

vect(RM) = (1+1 ; a-1-0)
= (2; a-1)

vect(MN) = (1-a/1+a - 1 ; -1+a/1+a -(a-1) )
= (1-a-1-a / 1+a ; -1+a +(-a+1) X 1+a /1+a)
= (-2a/1+a ; -1+a-a²-a+1+a / 1+a)
= (-2/1+a ; -a²+a/1+a)

Si les points R, M et N sont alignés alors les vecteurs RM et MN sont colinéaires :

xy' -x'y = 0
2 X (-a²+a/1+a) - (a-1) X (-2a/1+a)
-2a²+2a + 2a²-2² /1+a
0/1+a = 0
Donc les points sont alignés. :)

Trouves-tu pareil ?? :hein: Moi ça m'a l'aire juste
Merci d'avance pour ton aide

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par messinmaisoui » 25 Oct 2011, 13:17

Ok
Pour le repère repère (A; vecteur AB; vecteur AC)

=> (A:Origine du repère; VecteurAB: 1ere composante couple; Vecteur AC: 2eme composante couple)

les coordonnées de vecteur AB sont donc (1, 0)
les coordonnées de vecteur AC sont donc(0, 1)


Pour le reste je n'ai pas vérifié tes calculs, car tu trouves les réponses attendues :lol3:
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par petiteliloudu30 » 25 Oct 2011, 14:51

Merci beaucoup :) Tu a été mon sauveur Encore mille merci à toi :we:

 

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