Méthode des isopérimètres

[pierro2704]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour ce devoir maison merci.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on considère:
Pn le polygone régulier à 2n côtés et de périmètre 2,
son cercle inscrit de rayon rn
son cercle circonscrit de rayon Rn

1. En considérant le périmètre de ces deux cercles, écrire l'encadrement de qui en découle.

Dans la suite, on souhaite écrire un algorithme qui affiche les valeurs de 1/rn et 1/Rn.
Il s'agit donc de déterminer comment rn+1 et Rn+1 se calculent à partir de rn et Rn.

2. Pour n=2: Calculer le rayon des cercles inscrit et circonscrit au carré.
3. Pour n quelconque: On construit ci-dessous le polygone Pn+1 à partir du polygone Pn.
A,B et C sont trois sommets consécutifs de Pn.
M et N sont les milieux respectifs des arcs AB et AC.
U,V,W et X sont les milieux respectifs des segments {AM], {MB] [BN] et [NC].
I est le point d'intersection des segments [UV] et [OM].
J est le point d'intersection des segments [AB] et [0M].

a. Calculer la longueur d'un côté du polygone Pn et en déduire la distance UV. En déduire que les points U, V, W et X sont quatres sommets consécutifs du polygone Pn+1.
Exprimer rn+1 en fonction de rn et Rn.
b. En se plaçant dans les triangles rectangles OUM et OUI exprimer le cosinus de l'angle MOU et en déduire l'expression de Rn+1 en fonction de rn et Rn.
4. Ecrire un algorithme qui affiche 1/rn et 1/Rn suivant la valeur de n entrée par l'utilisateur.


la question 1 je l'ai faite et j'ai trouvé l'encadrement
2pirn<2<2piRn

1/Rn<pi<1/rn