Logarithme népérien et autres...

[Feuille]

Bonjour.

Je suis en Terminale STI Arts appliqués, et étrangement, l'approche imminente du Bac donne envie de davantage comprendre les mathématiques^^...

Ayant été souvent absent cette année j'ai manqué beaucoup de cours, et pas seulement en maths, je pense donc que la meilleure solution est de relire mon cours et de poser les questions que je me pose sur ce forum...
Bref, je viens de relire mon cours, et je n'y comprends pas grand chose.
Alors voici mes questions:
-Qu'est-ce que le logarithme népérien? Correspond-t-il à ln sur la calculatrice? Et surtout, quelle est son utilité? Par exemple, je sais que Pi sert pour calculer les aires et les périmètres des cercles... Tant que je ne saurai pas à quoi rime ce logarithme népérien, je crois que j'aurai du mal à cerner la notion.
-A quoi correspond le log sur la calculatrice? A quoi sert-il?
-Enfin, à quoi sert ce "e", d'une valeur approchée de 2,71?

Je ne demande certainement pas de refaire le cours, mais simplement de m'éclairer sur l'utilité de tout cela. J'ai bien de nombreuses formules dans le cours, mais à aucun moment je n'arrive à percevoir leur utilité. Merci d'avance à ceux qui répondront, donc .

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

As-tu vu la notion de primitive? La notion d'exponentielle?

[Feuille]

En effet, j'aurai dû préciser que j'ai vu la notion de primitive (et ça, j'ai bien compris ce que c'est).
En revanche, la notion d'exponentielle ne me dit rien...

[Nightmare]

Bon alors partons de la notion de primitive.

La plupart des fonctions usuelles ont des primitives aussi usuelles.

La fonction carré x->x² a pour primitive par exemple
La fonction cosinus x->cos(x) a pour pour primitive par exemple x->sin(x).

La fonction a pour primitive par exemple

Question, qu'a-t-on comme primitives pour la fonction inverse ?

Il s'avère qu'on ne connaissait pas de fonctions usuelles qui nous permettait d'écrire les primitives de la fonction inverse.
On a donc inventé une fonction, la fonction logarithme népérien, qui est une primitive de la fonction inverse. En particulier c'est la primitive qui s'annule en 1.

Ln est donc définie par :

Les problèmes de domaines de la fonction inverses (elle n'est pas définie en 0) fait que ln n'est défnie que sur ]0;+oo[. (La fonction inverse est bien continue sur ce domaine et admet donc des primitives, pas de soucis par conséquent pour l'existence de cette fonction ln).

Après l'avoir définie, on a découvert plein de propriétés assez sympathique. Par exemple, ln "transforme" la multiplication en une addition.
c'est à dire que si l'on prend deux réels positifs a et b , ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
De même elle transforme l'inverse en l'opposé : ln(1/a)=-ln(a)
bref, tu trouveras toutes ces propriétés dites de "morphisme" dans un cours détaillé.

Ln peut aussi se définir comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle, mais vu que tu n'as pas vu cette dernière, je ne vais pas t'en parler.

Pour revenir aux propriétés de ln : c'est une fonction croissante. Ses limites en -oo et +oo sont respectivement 0 et +oo.
Par continuité, ln va donc prendre un jour ou l'autre la valeur 1. On a "décidé" (je mets entre guillemet car historiquement ce n'est pas comme ça que ça s'est passé) que ln prendrait la valeur 1 en un nombre e, dit nombre d'Euler.
Ainsi ln(e)=1.
On dit aussi que e est la base du logarithme népérien.

Pour en revenir au base, log c'est un autre logarithme, appelé logarithme décimal. Cette fois-ci, log est de base 10, c'est à dire que log(10)=1.

On peut définir log en fonction de ln : Pour tout x positif, (Ce qui corrobore bien le résultat log(10)=1).

Voila, j'espère avoir répondu à tes questions. Si tu en as d'autre n'hésite pas.