Fonctions et variations

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Nerah
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Fonctions et variations

Messagepar Nerah » 24 Nov 2012, 13:35

Bonjour !

J'ai un DM en maths à rendre pour mardi dont l'énoncé est le suivant :

Une entreprise industrielle fabrique un produit chimique à l'état liquide en grande quantité. Le cout de production total pour une production inférieure ou égale à 100 000 litres, comporte un cout fixe de 20 000€ et un cout variable de 16€ par litre.

1) Exprimer le cout total de production totale C(x) en fonction de x litres produits.

Alors pour ça j'ai fait un truc : C fixe = 20 000 €; cout variable = 16€ par litre
C(x) total pour x litres produits?
prod totale = 100 000L
Alors du coup j'ai fait 16 x 20 000 = 320 000€ ?

après sens de variation de la fonction sur [ 0 ; + l'infini [
alors j'ai mis que la fonction était tout le temps croissante

2) Cout moyen d'un litre de production de x litres est égal au cout de la production totale de x litres divisé par le nb de litres x
a. Exprimer le cout moyen d'un litre si x sont fabriqués en fonction de x

Pour ça j'ai fait : 320 000 divisé par 100 000 ce qui fait 3.2€ comme cout moyen d'un litre...?

b. Sens de variation du cout moyen sur l'intervalle où il est défini?

Pour ça je sèche, et c'est même pas sûr que mes précédentes réponses soient exactes :/

c. Le résultat à la question précédente est-il surprenant? Justifier.

Voilà mon premier exercice, si quelqu'un pouvait m'éclairer... Merci !



sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 24 Nov 2012, 17:19

[CENTER]Bonsoir :we: [/CENTER]

Bienvenue sur le forum Nerah :)

Malheureusement je dois t'avouer que tout est faux :(

[CENTER]question 1[/CENTER]

Il a y un cout constant de 20 000 et ensuite 16/L, si x=1L, alors pour chaque x il y a un cout de 16, cela donne la formule générale, pour un l'intervalle [0;100 000] car ils disent au début que cette formule marche pour x0, 16 positif.


[CENTER]
question 2[/CENTER]

a)

Alors si on divise le cout de production par la quantité x, on obtient, je vais nomme cette fonction P (comme prix unitaire :) )
[CENTER]



[/CENTER]

b)
On remarque que quand x augmente, la fraction 20 000/x diminue, et 16 reste constant
La fonction P(x) est donc strictement décroissante sur [0;100 000]

Elle est minorée par P(0)=0 euros/L et majorée par P(100 000) = 16.2 euros/L

c) Alors pour cette question, je n'arrive pas à le formuler proprement, mais cela me semble logique comme résultat.
En gros, il y a un cout 20 000 puis 16 par litre, donc plus on produit et plus la somme de 20 000 est divisée. D'ailleurs cela se représente très bien dans la formule, puisqu'on a 20 000/16
[CENTER]
N'hésites pas à poser des questions, essayes de comprendre tes erreurs :)[/CENTER]

Nerah
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Messagepar Nerah » 24 Nov 2012, 17:30

Bonsoir ! Tout d'abord, merci de m'avoir répondu et d'avoir corrigée ^^'

J'ai compris mes erreurs, déjà je suis allée beaucoup trop vite et en cherchant compliqué alors que la réponse était devant mes yeux..
Et j'ai effectivement des questions : quand tu dis que P(x) est minorée ou majorée.. Ca veut dire quoi exactement ? Qu'elle atteint son maximum et son minimum pour les formules données par la suite ?


sylvain.s a écrit:[CENTER]Bonsoir :we: [/CENTER]

Bienvenue sur le forum Nerah :)

Malheureusement je dois t'avouer que tout est faux :(

[CENTER]question 1[/CENTER]

Il a y un cout constant de 20 000 et ensuite 16/L, si x=1L, alors pour chaque x il y a un cout de 16, cela donne la formule générale, pour un l'intervalle [0;100 000] car ils disent au début que cette formule marche pour x0, 16 positif.


[CENTER]
question 2[/CENTER]

a)

Alors si on divise le cout de production par la quantité x, on obtient, je vais nomme cette fonction P (comme prix unitaire :) )
[CENTER]



[/CENTER]

b)
On remarque que quand x augmente, la fraction 20 000/x diminue, et 16 reste constant
La fonction P(x) est donc strictement décroissante sur [0;100 000]

Elle est minorée par P(0)=0 euros/L et majorée par P(100 000) = 16.2 euros/L

c) Alors pour cette question, je n'arrive pas à le formuler proprement, mais cela me semble logique comme résultat.
En gros, il y a un cout 20 000 puis 16 par litre, donc plus on produit et plus la somme de 20 000 est divisée. D'ailleurs cela se représente très bien dans la formule, puisqu'on a 20 000/16
[CENTER]
N'hésites pas à poser des questions, essayes de comprendre tes erreurs :)[/CENTER]

Nerah
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Messagepar Nerah » 24 Nov 2012, 17:46

Autre question Sylvain, comment obtiens-tu 16.2 pour P(x) majorée en...?
=>
b)
On remarque que quand x augmente, la fraction 20 000/x diminue, et 16 reste constant
La fonction P(x) est donc strictement décroissante sur [0;100 000]

Elle est minorée par P(0)=0 euros/L et majorée par P(100 000) = 16.2 euros/L

Nerah
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Messagepar Nerah » 24 Nov 2012, 18:56

Deuxième exercice :

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 10 cm.
On désigne M comme étant un point quelconque du segment [AB]. On note alors N,P,Q les points situés respectivement sur [BC]; [CD] et [DA] tels que AM = BN = CP = DQ.

1 ) Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
2) On appelle x la longueur des segments [AM]; [ BN]; [CP] et [DQ]
a.Expliquer pourquoi 0 < x < 6
b. exprimer les distances MB et NC en fonction de x

3) a. Exprimer la distance MN en fonction de x. On appelle f la fonction telle que MN = f(x).
b. déterminer le sens de variation de la fonction f sur [0;6]
c. construire sur la calculatrice la représentation graphique de cette fonction.

4) a. exprimer la distance NP en fonction de x. On appelle g la fonction définie sur [0;6] par g(x) = NP.
b. sens de variation de g ?
c. construire sa RG sur le même écran que pour f.

5) On s'intéresse au périmètre L du parallélogramme MNPQ. Ce périmètre varie en fonction de x et on appelle h la fonction telle que L = h (x). On veut déterminer s'il existe une position du point M qui permet que ce paramètre soit minimal.
a. exprimer h à l'aide de f et de g.
b. expliquer pourquoi la fonction h est décroissante sur ]0;3]; de même déterminer son sens de variation sur [5;6]
c. expliquer pourquoi les propriétés du cours ne permettent pas de déterminer le sens de variation de la fonction h sur [3;5]
d. en utilisant les fonctions f et g, construire sur la calculatrice la RG de la fonction h. La fonction h semble-t-elle changer de variation sur l'intervalle [3;5]?

voilà tout l'énoncé pfffiou..
Donc pour la question 1 déjà, j'ai tracé une figure à main levée sur mon papier, mais j'ai une question : est-ce qu'il suffit de ressortir les propriétés du parallélogramme pour prouver que MNPQ en est un?
En utilisant par la suite le fait que AM = BN = CP = DQ.

2)a.
x est compris entre 0 et 6 car les longueurs AM etc sont toutes égales à x, on est d'accord. Ensuite, AB = 6 cm ; valeur maximale du segment [AB]. Et x ne peut pas être >6 car il faut respecter le fait que les longueurs soient égales.. Je sais pas trop comment m'expliquer pour justifier ça ><

question b : MB = 6 - x ( AB - la longueur AM qui est égale à x )
NC = 10 - x ( BC - la longueur BN qui est égale à x )

3) a. et b. je ne sais pas trop comment m'y prendre pour y répondre :/ le c , je le ferai sans problèmes je pense.

4 ) a. et b. pareil et pour le c. je le ferai aussi sans problèmes

5) h(x) = f(x)-g(x)? je sais pas du tout...
Pour la suite j'ai vraiment besoin de votre aide, déjà pouvez vous m'éclairer sur tout ce que j'ai écrit et répondre à mes questions ? en gros j'ai un gros problème à partir de la question 3 et j'aimerais savoir si la 1 et 2 sont justes. merci !

sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 24 Nov 2012, 23:43

[CENTER]Bonsoir nerah :)[/CENTER]

Désolé du retard j'étais occupée ^^, ca me fait plaisir que tu ai compris tes erreurs et que tu ai posé des questions.

J'ai vérifié, cela ne se dit pas pour une fonction je crois ^^, je voulais plutôt dire que la plus petite valeur de la fonction f, était f(0) et la plus grande f(100 000). Il n'y a pas d'autre valeur plus petite et plus grandre, ce sont les extrêmes de cette fonction.

Mais attention ce sont les extrêmes sur l'intervalle qu'on étudie, c'est à dire [0;100 000]

Pour le 16.2, j'ai calculé f(100 000)=(20 000/100 000) + 16 = 16.2

On peut dire que la fonction est strictement croissant sur l'intervalle [0;100.000]; et qu'elle varie de 0 à 16.2. Autrement dit toutes les images de x sont comprises dans l'intervalle [0;16.2]

J'ai vu que tu m'a pondu un bon pavé ^^, tu dois le rendre pour quand le deuxième exercice ?

sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 25 Nov 2012, 10:28

[CENTER]Bonjour ! :we: [/CENTER]

Pour la question 1) tu as bon :) , tu peux aussi le démontrer en prouvant que les angles opposés sont égaux, mais c'est un peu plus long :(

Pour la question 2) Tu as tout juste aussi :), il suffit de dire que [AB]= 6 cm, et que [AM] ne peut alors dépasser 6. Il faut pas plus pour justifier je pense ;)

Pour les autres questions :

3)
a) On utilise Pythagore, pour trouver MN en fonction de x

b)Il s'agit d'une fonction composée ( racine(fonction)), alors il faut étudier le sens de variation de la fonction qui est dans la racine. Pour cela tu peux dériver et faite un tableau de signe, puis de variation ;)

4)Tu utilises le même procédé que pour la question 3)

5)

a)
Le périmètre du parallélogramme= 2*MN + 2*PN
Donc h(x)= 2 * f(x) + 2 * g(x) = 2*(h(x) + g(x) )

b)
Les foncitons f et g sont décroissante sur ]0;3], donc la fonction h est décroissante ;)
( car l'addition des deux fonctions est multipliée par un nombre positif)

Même logique pour [5;6[, f et g sont toutes les deux croissantes :)

c) De quelle partie du cours parle t-on ? Tu étudies quoi en ce moment comme cours ?

Voila bosses bien ;) et bon courage

Nerah
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Messagepar Nerah » 25 Nov 2012, 12:23

Merci sylvain ^^ et pas grave pour ton retard, j'avais déconnecté peu après de toute façon. Pour répondre à ta question, on parle de la partie du cours : sens et variations de fonctions sur un intervalle I. Je ne peux pas t'en dire plus :/ Et les deux exos sont à rendre pour mardi mais j'ai juste à terminer le 2ème ^^

Sinon , j'ai commencé à rédiger le gros pavé ^^ Et voici mes résultats :

3) a. On se place dans le triangle MBN. On sait que MBN est rectangle en B. On sait aussi que BN = x et que MB = 6 - x. On peut alors appliquer Pythagore , l'hypothénuse de ce triangle est MN.

Donc : MN² = MB² + BN²
MN² = ( 6-x ) ² + x²
= 6² - 2 fois 6 fois x + x² +x² ( le dernier x² étant bien sûr le BN² )
ce qui me donne à la fin un truc complètement bizarre :
MN = racine de : x puissance 4 - 12x + 36
que j'ai simplifiée en x² - racine de 12x +6 ( le +6 n'entrant pas dans la racine )
je sais pas si c'est juste, ça me parait bizarre

Donc on a après MN = f(x)

Pour mon tableau de signes et de variations , faut-il calculer delta ?

tableau de signes de f(x) :

x | 0 6
_________________________

f(x) | +


est-ce juste? Du coup son tableau de variation sera
f(x) constamment croissante sur [0;6]

b. NP en fonction de x
on se place dans le triangle NPC , on sait qu'il est rectangle en C et que CP = x , NC = 10-x. L'hypothénuse est NP.
Pythagore :

NP² = NC ² + CP²
= (10-x ) ² + x²
= 100 - 20x+x² +x²
NP = racine de ( 100 - 20x + x puissance 4 )
simplifiée en : 10 - racine de 20x +x² ( x² pas dans la racine )
donc si on ordonne ça fait x² - racine de 20x + 10 ( 10 pas dans la racine )

après on nous donne g définie sur [0;6] par g(x) = NP . encore une fois, faut-il calculer delta?

tableau de signes de g :

x | 0 6
_____________________
g(x) | +

je suis pas sûre du tout donc si tu pouvais me corriger ça ça serait super gentil :D sinon j'avance bien grâce à toi, donc merci encore =D on verra les autres questions après

Nerah
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Messagepar Nerah » 25 Nov 2012, 12:27

Encore une chose, comment sait-on pour la question 5) que f et g sont toutes deux croissantes sur [5;6[ et décroissantes sur ]0;3] ? :/

sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 25 Nov 2012, 12:48

Nerah a écrit:Encore une chose, comment sait-on pour la question 5) que f et g sont toutes deux croissantes sur [5;6[ et décroissantes sur ]0;3] ? :/



MN² = ( 6-x ) ² + x²
= 36 - 12x +x²+x²
= 2x²-12x + 36


NP² = NC ² + CP²
= (10-x ) ² + x²
= 100 - 20x+x² +x²
=2x² - 20x + 100

Tu as fais des erreurs sur les règles de priorité d'opération, et tu as confondues addition avec multiplication (x²+x²=2x² et pas x^4)

Je t'exspliquerais le reste plus tard, pour l'instant je n'ai pas le temps, si c'est à rendre pour mardi c'est bon :)

Au faite en quelle classe tu es ?

Nerah
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Messagepar Nerah » 25 Nov 2012, 14:18

En effet.. Merci ! ^^'
Je suis en première S mais les maths c'est vraiment pas mon truc (y) et tu me parlais de dériver, je n'ai pas encore appris les dérivés :S

sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 25 Nov 2012, 15:33

Ah je vois ^^, j'ai choisi la dérivation parce que c'était plus facile :)

Si tu es en premiere tu as du étudié les polynômes du second degré.

Tu remarqueras MN² et NP² sont justement des polynômes du second degré :)

Alors il te reste plus qu'à calculer le discriminant pour chaque et de faire un tableau de signe.

La représentation graphique d'un trinôme du second degré est une parabole, si a>0 alors le sommet de cette parabole est vers le bas, le trinôme est alors décroissant jusqu'au sommet puis croissant.
Inversement si a <0 alors le trinôme a son sommet vers le haut, et il est croissant jusqu'au sommet, puis décroissant.

Après tout ca c'est marqué dans ton cours :)

Effectivement, j'ai vérifié le programme de la dérivation vient juste après ;)

Pour la question 5) il me semble que c'est dans tes cours de début d'année, le chapitre sur les fonctions ;)

Nerah
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Messagepar Nerah » 25 Nov 2012, 19:13

Oui, la RG c'est dans mon cours :3 Très bien mais dans ce cas je fais le tableau de signe avec MN et NP et non pas avec MN² et NP² non?

Discriminant de MN² = (-12)² - 4 x 2 x 36

= 144 - 288 = -144<0 donc pas de solution

NP² = (-20)² - 20x4x100
= 400 - 8000 = -7600 < 0 donc pas de solution non plus -_-


donc je vois pas bien comment faire un tableau de signe + variation avec ça T.T en fait les deux sont des fonctions racine carrée non? Donc logiquement elles sont toutes les deux strictement croissantes sur l'intervalle [0 + l'infini [ donc croissantes aussi sur [0 ; 6 ] non?

sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 26 Nov 2012, 18:37

Nerah a écrit:Oui, la RG c'est dans mon cours :3 Très bien mais dans ce cas je fais le tableau de signe avec MN et NP et non pas avec MN² et NP² non?

Discriminant de MN² = (-12)² - 4 x 2 x 36

= 144 - 288 = -144<0 donc pas de solution

NP² = (-20)² - 20x4x100
= 400 - 8000 = -7600 < 0 donc pas de solution non plus -_-


donc je vois pas bien comment faire un tableau de signe + variation avec ça T.T


Tu fait le tableau de variation avec MN² et NP², et si le discriminant n'a pas de solution, cela ne change pas que la courbe est une parabole. Dans ce cas tu calcules le sommet : -b/2a

Si a positif alors la parabole est décroissante jusqu'à (-b/2a) puis croissante et toujours positive
Si a négatif alors la parabole est croissante jusqu'à (-b/2a) puis décroissante et toujours négative

Si je me souviens bien, vérifies quand même dans tes cours :)

Après, on sait que pour calculer MN et NP il faut faire la racine, on alors une fonction composée.
On sait que la racine varie selon ce qu'il y a dessous, si c'est croissante, la tout est croissant, si c'est décroissant le tout est décroissant.

Tu dois rendre ton devoir demain, j'éspère que tu veras ma réponse ;)

Nerah
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Messagepar Nerah » 26 Nov 2012, 18:55

Et d'ailleurs pour NP² c'est
(-20)² - 2x4x100 donc
- 400

Nerah
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Messagepar Nerah » 26 Nov 2012, 18:56

C'est lorsque Delta est égal à 0 qu'on calcule -b/2a :/

sylvain.s a écrit:Tu fait le tableau de variation avec MN² et NP², et si le discriminant n'a pas de solution, cela ne change pas que la courbe est une parabole. Dans ce cas tu calcules le sommet : -b/2a

Si a positif alors la parabole est décroissante jusqu'à (-b/2a) puis croissante et toujours positive
Si a négatif alors la parabole est croissante jusqu'à (-b/2a) puis décroissante et toujours négative

Si je me souviens bien, vérifies quand même dans tes cours :)

Après, on sait que pour calculer MN et NP il faut faire la racine, on alors une fonction composée.
On sait que la racine varie selon ce qu'il y a dessous, si c'est croissante, la tout est croissant, si c'est décroissant le tout est décroissant.

Tu dois rendre ton devoir demain, j'éspère que tu veras ma réponse ;)

Nerah
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Messagepar Nerah » 26 Nov 2012, 19:30

Pour la RG sur la calculatrice, les 3 fonctions sont décroissantes puis croissantes et pour répondre à la 5. d. , la fonction h ne semble pas changer de sens de variation sur [3;5].
Pour la 5.c. je ne trouve rien à mettre.. à part peut être qu'elle n'est pas définie sur cet intervalle mais dans ce cas ça doit se vérifier avec les discriminants, or on n'a aucune solution.

Les deux Delta sont négatifs donc la parabole est tournée vers le haut, les fonctions sont alors toujours du signe de a pour tout x réel. Mais a est positif puisqu'il s'agit bien de 2x² pour NP et MN non?
donc tableau de signe : les deux fonctions sont positives sur [0;6] . Elles sont décroissantes de - l'infini à 0 et croissantes ensuite de 0 à + l'infini?

est-ce que c'est ça? et est-ce que mes deux discriminants sont corrects? peux-tu vérifier la RG sur la calculatrice s'il te plait? merci bien..

sylvain.s
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Messagepar sylvain.s » 26 Nov 2012, 20:12

[CENTER]Bonsoir nerah :)[/CENTER]

Bon alors, pour la représentation graphique, je suis d'accord avec toi. Il semble bien que h(x) stagne sur l'intervalle [3;5].

Pour les fonctions MN et NP, on a :

MN²= 2x²-12x+36, delta0

Donc cela signifie que MN est toujours positif, MN est décroissant ds ]- infini;3[ et croissante sur ]3; + infini [

J'ai appliqué la même méthode pour NP, je trouve que le sommet= 5
Elle est donc décroissante sur ]-infini;5[ et croissante sur ]5;+infini[

Pour le reste de la question 5, je veux parler de la partie c)

En faite sur l'intervalle [3;5] MN est croissante alors que MP est décroissante, puisque leurs sens de variation sont opposés sur cet intervalle alors on ne peut pas expliquer le sens de variation de h(x) sur cet intervalle. C'est d'ailleurs pour cela si tu fais le rapprochement, que h(x) stagne sur cet interval, parce que MN et NP "s'annulent", quand y en a un qui monte l'autre descend alors ca stagne ^^

Si tu as d'autre questions n'hésite pas ;)

 

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